Сэм Лойд - Самые знаменитые головоломки мира

• Название: Самые знаменитые головоломки мира
• Автор: Сэм Лойд
• Издательство: ООО «Фирма «Издательство ACT»
• Жанр: Детская образовательная литература
• Год: 1999
• ISBN: 5-237-02034-8

Сборник математических задач и увлекательных головоломок, принадлежащий перу одного из классиков этого жанра Сэма Лойда, несомненно доставит большое удовольствие всем любителям занимательной математики.

---

113. Вероятность того, что ни один из шести человек не возьмет свою собственную шляпу, равна 265/720. [Это получается следующим образом. Число способов, которыми можно выбрать п шляп случайным образом так, чтобы ни один человек не выбрал собственной шляпы, равно n!×(1–1/1! + 1/2! + 1/3! + 1/4! -…+– 1/n!).

Поделив это выражение на п! (общее число способов, которыми можно выбрать п шляп), мы и получим ответ. С ростом п ответ стремится к пределу, равному 1/е, давая тем самым забавный эмпирический способ определения трансцендентного числа е. Анализ этой задачи и подобных вопросов дается в книге Ball R. Mathematical Recreations, p. 46. – M. Г.]

114. На рисунке показан единственный правильный способ расположить 8 ворон на снопах пшеницы так, чтобы никакие две птицы не оказались в одном ряду или на одной диагонали. Кроме того, сторож не сможет найти точку, с которой ему удалось бы прицелиться сразу в трех ворон.

115. «Любопытный трюк» состоит в том, что два выступа в кромке средней дыры не видны за головой осужденного! На рисунке показано, как именно следует разрезать доску.

116. Батчер Бой стоил 264 доллара и был продан за 295,68 доллара, что дало прибыль в 12 %. Вторая лошадь стоила 220 долларов и была продана за 198 долларов, так что потери составили 10 %. Общая стоимость двух лошадей составляла 484 доллара, а проданы они были за 493,68 доллара; при этом общая прибыль составила 2 %.

117. Ножницы можно освободить, продвигая конец с петлей назад вдоль двойной веревки: сначала через левое кольцо, затем через правое, далее снова через левое, а потом опять через правое. Теперь перекиньте петлю через все ножницы, и они окажутся свободными, если только в процессе работы вы не запутаете веревку, перекрутив ее неудачным образом.

118. [Независимо от способа передвижения обезьяны (быстро, медленно или прыжками) груз и обезьяна всегда будут находиться на одном уровне. Обезьяна не сможет оказаться выше или ниже груза, даже если она, отпустив веревку, станет падать вниз, а затем снова за нее уцепится.

Льюис Кэрролл ставит эту задачу в своем «Дневнике»; ее обсуждению посвящена обширная литература. – М. Г.]

119.Вы можете разделить гамак на две части, проведя 12 разрезов, как показано на рисунке.

120. Повар купил 16 яиц, но бакалейщик добавил ему еще 2 яйца, так что всего у повара оказалось 18 яиц.

121. Круглый пирог с помощью семи прямых разрезов можно разделить на 29 частей.

Искомый прямоугольный треугольник имеет стороны длиной в 47, 1104 и 1105 жердей. Шут не случайно назвал именно цифру 47, так как только она дает ответ в целых числах. Если бы он назвал цифру 48, то число ответов равнялось бы 10.

Я буквально краснею, приводя ответ шута относительно дамоклова меча: он кривой потому, что должен подходить к своим ножнам.

122. Молочник продал 32 кварты цельного молока на первой улице, 24 кварты – на второй, 18 – на третьей и 13 1/2 кварт – на четвертой, что в сумме составляет 87 1/2 кварт.

123. Для того чтобы выиграть, Рип должен сбить кеглю № 6. При этом кегли разобьются на группы из одной, трех и семи штук. Далее, как бы ни играл противник Рипа, он безусловно проиграет, если Рип станет придерживаться наилучшей стратегии. Чтобы выиграть, его противник должен был бы сбить с самого начала кеглю № 7, дабы разбить кегли на две группы по 6 штук. Затем, что бы ни сбивал Рип в одной из групп, гном должен повторять его ходы в другой группе, пока не выиграет.

[Замечание Лойда об истории игры в кегли не следует принимать всерьез. Рип может выиграть также, сбив кеглю № 10, ибо при этом снова получатся группы по 1, 3 и 7 штук. Относительно анализа этой игры см. задачу № 73 в сборнике Г. Дьюдени «Кентерберийские головоломки» (М.: Мир, 1978). – М. Г.]

124. «Свинскую» задачу Пэта можно решить только с помощью трюка, поместив один загон внутри другого, как показано на рисунке.

125. Путь, указанный на рисунке, содержит только 14 поворотов под прямым углом.

126. Джонсы продали на 220 газет больше, чем Смиты. Первоначальное число газет равнялось 1020.

127. Мэри 27 лет и 6 месяцев.

128. Расстояние между Плезантвиллем и Джойтауном составляет 126 миль. [Пусть х – расстояние от места встречи до Плезантвилля, а х + 18 – расстояние от Джой-тауна до места встречи. Тогда скорость Вилли равна х, деленному на 13 1/2, а скорость Дасти составляет (х + 18), деленное на 24. Время, за которое Вилли прошел х + 18 миль, равно этому расстоянию, деленному на скорость Вилли. Оно, как мы знаем, равно времени, за которое Дасти прошел х миль, равному, в свою очередь, х, деленному на скорость Дасти. Это приводит к квадратному уравнению, что дает для х значение в 54 мили. То есть точка встречи находится в 54 милях от Плезантвилля и в 72 милях от Джойтауна. – М. Г.]

129. Дабы решить эту задачу, не привлекая число я, необходимо напомнить замечательное открытие Архимеда, состоящее в том, что объем шара равен 2/3 объема цилиндрического ящика, в который шар как раз помещается.[30] Диаметр клубка проволоки равен 24 дюймам; значит, его объем равен объему цилиндра с диаметром основания в 24 дюйма и высотой в 16 дюймов.

Далее, проволока – это всего лишь очень тонкий и длинный цилиндр. Сколько кусков проволоки длиной в 16 дюймов и с диаметром основания в 0,01 дюйма равны по объему цилиндру высотой в 16 дюймов и с диаметром основания в 24 дюйма? Площади кругов относятся, как квадраты их диаметров. Квадрат 0,01 равен 0,0001, а квадрат 24 равен 576. Поэтому объем цилиндра равен суммарному объему 5 760 000 кусков нашей проволоки, каждый из которых имеет в длину 16 дюймов. Следовательно, общая длина проволоки составляет 5 760 000×16 = 92 160 000 дюймов, что равно 1454 милям и 2880 футам.

130. После 12 ч две стрелки впервые указывают в противоположных направлениях в 12 ч 32 8/11, мин и далее через интервалы в 1 ч 5 5/11 мин. Положение секундной стрелки показывает, что пуля должна была попасть в циферблат в 10 ч 21 9/11 мин (49 и 1/11 с).

131. Когда паромы встречаются в точке X (см. рисунок), то они находятся на расстоянии в 720 ярдов от одного из берегов. Суммарное расстояние, которое они прошли к этому моменту, равно ширине реки. Когда они достигают противоположных берегов, суммарное расстояние, пройденное ими, составляет удвоенную ширину реки. На обратном пути они встречаются в точке Z, пройдя к этому времени утроенную ширину реки, так что каждый паром прошел теперь в три раза большее расстояние, чем к моменту их первой встречи.

При первой встрече один паром прошел 720 ярдов, так что когда он достигает Z, то проходит к этому моменту втрое большее расстояние, то есть 2160 ярдов. Как видно из рисунка, это расстояние на 400 ярдов превышает ширину реки, и, значит, нам остается только вычесть 400 из 2160, чтобы получить ответ, равный 1760 ярдам, то есть ровно 1 миле.

Время, которое каждый паром затрачивает на перевозку пассажиров, не влияет на ответ.

132. Девять спичек располагают таким образом, чтобы они образовали английское слово TEN (десять), а из шести спичек следует составить слово NIX (ничто).

133. Из условий задачи вытекает, что Джек ест постную свинину со скоростью 1 бочонок за 10 недель; значит, полбочонка постной свинины он «порешит» за 5 недель. За то же самое время его жена (которая ест жирную свинину со скоростью 1 бочонок за 12 недель) справится с 5/12 бочонка жирной свинины. Поэтому им обоим останется съесть 1/12 бочонка жирной свинины со скоростью 1 бочонок за 60 дней. Супруги справятся с таким заданием за 5 дней, так что всего им потребуется 35 дней плюс 5 дней, или 40 дней.

134. Поскольку скупец мог разделить монеты каждого достоинства поровну на 4, 5 и 6 частей, у него должно было быть не менее 69 монет каждого достоинства, что в сумме составляет 2100 долларов.

135. [Решение Лойда, содержащее 6 частей, показано на рисунке. Совершенно другое решение из 10 частей приведено у Генри Э. Дьюдени в «Кентерберийских головоломках» (М.: Мир, 1978), задача 37. – М. Г.]

136. Хитрость Дженни состояла в том, чтобы один кружок слева перенести далеко вправо, как показано на рисунке.

137. Каждый из рабочих запросил следующую сумму (в долларах):

138. Точное время равно 8 ч 186/13 мин, или 8 ч 18 мин 279/13 с.

139. [Общее время, которое затрачивает на весь путь вверх и вниз по склону Джек, составляет ровно 6,3 мин, то есть 6 мин 18 с. Задача решается алгебраически. Положим, что скорость Джека в гору составляет 2х, его скорость под гору – Зд:, скорость Джилла в гору – 2у и скорость его под гору – 3у. Приравняем время, прошедшее до встречи Джека и Джилла. Затем общее время Джека плюс полминуты приравняем к общему времени Джилла. Теперь, решив систему из двух уравнений, находим х и у. – М. Г.]