Норберт Винер - Кибернетика или управление и связь в животном и машине

• Название: Кибернетика или управление и связь в животном и машине
• Автор: Норберт Винер
• Жанр: Прочая научная литература

«Кибернетика» — известная книга выдающегося американского математика Норберта Винера (1894—1964), сыгравшая большую роль в развитии современной науки и давшая имя одному из важнейших ее направлений. Настоящее русское издание является полным переводом второго американского издания, вышедшего в 1961 г. и содержащего важные дополнения к первому изданию 1948 г. Читатель также найдет в приложениях переводы некоторых статей и интервью Винера, включая последнее, данное им незадолго до смерти для журнала «Юнайтед Стэйтс Ньюс энд Уорлд Рипорт».

Книга, написанная своеобразным свободным стилем, затрагивает широкий круг проблем современной науки, от сферы наук технических до сферы наук социальных и гуманитарных. В центре — проблематика поведения и воспроизведения (естественного и искусственного) сложных управляющих и информационных систем в технике, живой природе и обществе. Автор глубоко озабочен судьбой науки и ученых в современном мире и резко осуждает использование научного могущества для эксплуатации и войны.

Книга предназначена для научных работников и инженеров.

---

 

 

 

 

           (3.903)

 

           (3.904)

 

 

 

           (3.905)

[c.149]

Преобразование Фурье для этих величин соответственно равно

           (3.906)

где

           (3.907)

то есть

           (3.908)

и

 ,          (3.909)

где для симметрии пишем

 .

Теперь мы можем определить k(ω) из (3.908), как прежде определили k(ω) из (3.74). Здесь мы принимаем

 

В результате

           (3.910)

и

 .          (3.911)

Таким образом, наилучшее определение функции m(t) с наименьшей среднеквадратической ошибкой есть

 .          (3.912)

[c.150]

Сравнивая это с уравнением (3.89) и пользуясь рассуждениями, подобными тем, посредством которых было получено (3.88), заключаем, что оператор для m(t)+n(t), дающий «наилучшее» представление функции m(t+a), имеет при записи в частотной шкале следующий вид:

 .          (3.913)

Этот оператор служит характеристическим оператором устройства, которое в электротехнике называют волновым фильтром. Величина а есть фазовое отставание фильтра. Она может быть положительной или отрицательной; если она отрицательна, то а называется фазовым опережением. Прибор, соответствующий формуле (3.913), может быть построен с какой угодно точностью. Подробности его конструкции нужны более для инженера-электрика, чем для читателя этой книги. Их можно найти в соответствующей литературе[147].

Среднеквадратическая ошибка фильтрации (3.902) может быть представлена как сумма среднеквадратической ошибки фильтрации для бесконечного фазового отставания

 

 

           (3.914)

[c.151]

и другого члена

 ,          (3.915)

зависящего от фазового отставания. Мы видим, что среднеквадратическая ошибка фильтрации есть монотонно убывающая функция фазового отставания.

Другим интересным вопросом в случае сообщений и шумов, порождаемых броуновым движением, является скорость передачи информации. Рассмотрим для простоты случай, когда сообщение и шум независимы, т. е. когда

 .          (3.916)

Рассмотрим в этом случае функции

 ,          (3.917)

где γ и σ распределены независимо. Пусть нам известна сумма m(t)+n(t) в интервале (—А, А). Сколько у нас тогда информации об m(t)? Заметим, что, по эвристическому суждению, это количество информации не должно слишком отличаться от количества информации о функции

           (3.918)

которым мы располагаем, когда нам известны все значения выражения

 ,          (3.919)

где γ и σ имеют независимые распределения. Можно, однако, показать, что n-й коэффициент Фурье для выражения (3.918) имеет гауссово распределение, независимое от всех других коэффициентов Фурье, и что его [c.152] среднеквадратическое значение пропорционально величине

           (3.920)

Следовательно, в силу (3.09) полное количество информации об М равно

 ,          (3.921)

а временная плотность передачи энергии равна этой величине, деленной на 2А. Если А→∞, то выражение (3.921) стремится к

 .          (3.922)

Именно этот результат и был получен автором и Шенноном для скорости передачи информации в рассматриваемом случае. Как видим, эта величина зависит не только от ширины полосы частот, которой мы располагаем для передачи сообщения, но и от уровня шума. В действительности она обнаруживает прямую связь с аудиограммами, применяемыми для измерения величины слуха и потери его у данного индивидуума. В аудиограмме абсциссой служит частота, ординатой нижней границы — логарифм порога слышимой силы звука (мы можем назвать его логарифмом внутреннего шума принимающей системы), а ординатой верхней границы — логарифм наибольшей силы звука, которую система может пропустить. Площадь между ними, представляющая величину такой же размерности, как выражение (3.922), принимается за меру скорости передачи информации, с которой ухо способно справиться. [c.153]

Теория сообщений, линейно зависящих от броунова движения, имеет много важных вариантов. Основными являются формулы (3.88), (3.914) и (3.922), разумеется, вместе с определениями, необходимыми для их понимания. Существует ряд вариантов этой теории. Прежде всего она дает нам наилучший возможный синтез предсказывающих устройств и волновых фильтров в случае, когда сообщения и шумы представляют собой реакции линейных резонаторов на броуновы движения, однако и в значительно более общих случаях она обеспечивает некоторый возможный синтез предсказывающих устройств и фильтров. Последние, правда, не будут иметь абсолютно наилучшей конструкции, но, во всяком случае, позволят свести к минимуму среднеквадратическую ошибку предсказания при использовании линейных устройств. Однако, вообще говоря, найдутся такие нелинейные устройства, которые будут работать лучше, чем любые линейные устройства.

Кроме того, выше мы рассматривали простые временные ряды, в которых от времени зависит лишь одна числовая переменная. Существуют также многомерные временные ряды, где несколько таких переменных зависят все вместе от времени; именно многомерные ряды имеют наибольшее значение в экономических науках, метеорологии и т. п. Полная карта погоды Соединенных Штатов, составляемая ежедневно, есть такой временной ряд. В этом случае нам нужно одновременно выразить несколько функций через частоту, причем квадратические величины, такие, как выражение (3.35) или |k(ω)|2 в рассуждениях после формулы (3.70), заменяются множествами пар величин, т. е. матрицами. Задача определения функции k(ω) через |k(ω)|2 с выполнением некоторых добавочных условий в комплексной плоскости становится теперь гораздо труднее, особенно ввиду того, что умножение матриц не является перестановочной операцией. Тем не менее задачи, относящиеся к этой многомерной теории, были решены, по крайней мере частично, Крейном и автором.

Многомерная теория представляет собой усложнение предыдущей теории. Существует, кроме того, другая близкая теория, которая является ее упрощением. Эта теория предсказания, фильтрации и количества информации в дискретных временных рядах. Такой ряд [c.154] представляет собой последовательность функций fn(α) параметра α, где n пробегает все целочисленные значения от —∞ до ∞. Величина α, как и раньше, служит параметром распределения, и можно по-прежнему считать, что этот параметр изменяется равномерно в интервале (0, 1). Говорят, что временной ряд находится в статистическом равновесии, если замена n на n+v (v — целое число) равносильна сохраняющему меру преобразованию в себя интервала (0, 1), пробегаемого параметром α.

Теория дискретных временных рядов во многих отношениях проще теории непрерывных рядов. Гораздо легче, например, свести их к последовательности независимых выборов. Каждый член (в случае перемешивания) можно представить как комбинацию предшествующих членов с некоторой величиной, не зависящей от всех предшествующих членов и равномерно распределенной в интервале (0, 1), и последовательность этих независимых коэффициентов взять вместо броунова движения, столь важного для непрерывных рядов.

Если fn(α) — временной ряд, находящийся в статистическом равновесии и метрически транзитивный, то его коэффициент автокорреляции будет равен

 .          (3.923)

и мы будем иметь

           (3.924)

почти для всех α. Положим

 ,          (3.925)

или

           (3.926)

[c.155]

Пусть

 ,          (3.927)

           (3.928)

и

 .          (3.929)

Тогда при очень общих условиях k(ω) будет граничным значением на единичном круге для функции без нулей и особых точек внутри единичного круга; ω является здесь углом. Отсюда