Норберт Винер - Кибернетика или управление и связь в животном и машине

• Название: Кибернетика или управление и связь в животном и машине
• Автор: Норберт Винер
• Жанр: Прочая научная литература

«Кибернетика» — известная книга выдающегося американского математика Норберта Винера (1894—1964), сыгравшая большую роль в развитии современной науки и давшая имя одному из важнейших ее направлений. Настоящее русское издание является полным переводом второго американского издания, вышедшего в 1961 г. и содержащего важные дополнения к первому изданию 1948 г. Читатель также найдет в приложениях переводы некоторых статей и интервью Винера, включая последнее, данное им незадолго до смерти для журнала «Юнайтед Стэйтс Ньюс энд Уорлд Рипорт».

Книга, написанная своеобразным свободным стилем, затрагивает широкий круг проблем современной науки, от сферы наук технических до сферы наук социальных и гуманитарных. В центре — проблематика поведения и воспроизведения (естественного и искусственного) сложных управляющих и информационных систем в технике, живой природе и обществе. Автор глубоко озабочен судьбой науки и ученых в современном мире и резко осуждает использование научного могущества для эксплуатации и войны.

Книга предназначена для научных работников и инженеров.

---

Если K(t) — достаточно непрерывная функция, то можно показать, что нули величины

           (3.65)

по теореме М. Каца, почти всегда имеют определенную плотность и что эта плотность при подходящем выборе К может быть сделана сколь угодно большой. Пусть выбрано такое КD, что плотность равна D. Последовательность нулей величины

 ,

от —∞ до ∞ обозначим через Zn(D, γ), —∞<n<∞. Конечно, при нумерации этих нулей индекс n определяется лишь с точностью до аддитивной целочисленной константы.

Пусть теперь T(t, μ) — произвольный временной ряд от непрерывной переменной t, а μ — параметр распределения временных рядов, изменяющийся равномерно в интервале (0, 1). Пусть далее

 ,          (3.66)

где Zn — нуль, непосредственно предшествующий моменту t. Можно показать, что, каково бы почти ни было μ, для любого конечного множества значений t1, t2, …, tv переменной х одновременное распределение величин TD(tk, μ, γ) (k=1, 2, …, v) при D→∞ будет приближаться к одновременному распределению величин T(tk, μ) для тех же tk при D→∞. Но TD(tk, μ, γ) полностью определяется величинами tk, μ, D. Поэтому вполне уместно попытаться выразить TD(tk, μ, γ) [c.143] для данного D и данного μ, либо прямо в виде (3.46), либо некоторым образом в виде временного ряда, распределение которого является пределом (в указанном свободном смысле) распределении этого типа.

Следует признать, что все это изображает скорее программу на будущее, чем уже выполненную работу. Тем не менее эта программа, по мнению автора, дает наилучшую основу для рационального, последовательного рассмотрения многих задач в области нелинейного предсказания, нелинейной фильтрации, оценки передачи информации в нелинейных системах и теории плотного газа и турбулентности. К ним принадлежат, быть может, самые острые задачи, стоящие перед техникой связи.

Перейдем теперь к задаче предсказания для временных рядов вида (3.34). Мы замечаем, что единственным независимым статистическим параметром такого временного ряда является функция Ф(t), определенная формулой (3.35). Это значит, что единственной значащей величиной, связанной с K(t), является

           (3.67)

Конечно, здесь К — величина действительная.

Применяя преобразование Фурье, положим

 .          (3.68)

Если известно K(s), то известно k(ω), и обратно. Тогда

           (3.69)

Таким образом, знание Ф(t) равносильно знанию k(ω)k(—ω). Но поскольку K(s) действительно, то

 ,          (3.70)

откуда . Следовательно, |k(ω)|2 есть известная функция, а потому действительная часть log|k(ω)| также есть известная функция. [c.144]

Если записать[145]

           (3.71)

то нахождение функции K(s) эквивалентно нахождению мнимой части log k(ω). Это задача неопределенная, если не наложить дальнейшего ограничения на k(ω). Налагаемое ограничение будет состоять в том, что log k(ω) должен быть аналитической функцией и иметь достаточно малую скорость роста относительно ω в верхней полуплоскости. Для выполнения этого условия предположим, что k(ω) и [k(ω)]—1 возрастают вдоль действительной оси алгебраически. Тогда [F(ω)]2 будет четной и не более, чем логарифмически бесконечной функцией, и будет существовать главное значение Коши[146] для

           (3.72)

Преобразование, определяемое выражением (3.72), называется преобразованием Гильберта; оно изменяет cos λω в sin λω и sin λω в —cos λω. Следовательно,

F(ω)+iG(ω)

есть функция вида

           (3.73)

и удовлетворяет требуемым условиям для log |k(ω)| в нижней полуплоскости.

Если теперь положить

 ,          (3.74)

то можно показать, что при весьма общих условиях функция K(s), определяемая формулой (3.68), будет обращаться в нуль для всех отрицательных аргументов. Таким образом,

           (3.75)

[c.145]

С другой стороны, можно показать, что 1/k(ω) записывается в виде

 ,          (3.76)

где значения Nn определены подходящим образом, и что при этом можно получить

           (3.77)

Здесь значения Qn должны удовлетворять формальному условию

           (3.78)

В общем случае будем иметь

 ,          (3.79)

а если ввести по образцу соотношения (3.68)

 ,          (3.80)

то

 .          (3.81)

Следовательно,

 .          (3.82)

Этот вывод мы используем для того, чтобы получить оператор предсказания в форме, связанной не со временем, а с частотой. [c.146]

Таким образом, прошлое и настоящее функции ξ(t, γ), или точнее «дифференциала» dξ(t, γ), определяют прошлое и настоящее функции f(t, γ), и обратно.

Если теперь А >0, то

           (3.83)

Здесь первый член последнего выражения зависит от области изменения dξ(τ, γ), в которой, зная лишь f(σ, γ) для σ≤t, сказать ничего нельзя, и совершенно не зависит от второго члена. Его среднеквадратическое значение равно

 ,          (3.84)

и эта формула дает все статистическое знание о нем. Можно показать, что первый член имеет гауссово распределение с этим среднеквадратическим значением. Последнее равно ошибке наилучшего возможного предсказания функции f(t+A, γ).

Само же наилучшее возможное предсказание выражается вторым членом в (3.83):

 .          (3.85)

Если теперь положим

           (3.86)

[c.147]

и применим оператор (3.85) к eiωt, получив

 ,          (3.87)

то найдем, подобно (3.81), что

           (3.88)

Это и есть частотная форма наилучшего оператора предсказания.

Задача фильтрации в случае временных рядов типа (3.34) тесно связана с задачей предсказания. Пусть сумма сообщения и шума имеет вид

 ,          (3.89)

а сообщение имеет вид

 ,          (3.90)

где γ и δ распределены независимо в интервале (0, 1). Тогда предсказуемая часть функции m(t+a), очевидно, равна

 ,          (3.901)

а среднеквадратическая ошибка предсказания равна

 .          (3.902)

Допустим, кроме того, что нам известны следующие величины:

 [c.148]

 

 

 

 

 

           (3.903)

 

           (3.904)

 

 

 

           (3.905)

[c.149]

Преобразование Фурье для этих величин соответственно равно

           (3.906)

где

           (3.907)

то есть

           (3.908)

и

 ,          (3.909)

где для симметрии пишем

 .

Теперь мы можем определить k(ω) из (3.908), как прежде определили k(ω) из (3.74). Здесь мы принимаем

 

В результате

           (3.910)

и

 .          (3.911)

Таким образом, наилучшее определение функции m(t) с наименьшей среднеквадратической ошибкой есть

 .          (3.912)

[c.150]

Сравнивая это с уравнением (3.89) и пользуясь рассуждениями, подобными тем, посредством которых было получено (3.88), заключаем, что оператор для m(t)+n(t), дающий «наилучшее» представление функции m(t+a), имеет при записи в частотной шкале следующий вид: