Джон Дербишир - Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике.

• Название: Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике.
• Автор: Джон Дербишир
• Издательство: Астрель: CORPUS
• Жанр: Математика
• Год: 2010
• ISBN: 978-5-271-25422-2

Сколько имеется простых чисел, не превышающих 20? Их восемь: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 и 19. А сколько простых чисел, не превышающих миллиона? Миллиарда? Существует ли общая формула, которая могла бы избавить нас от прямого пересчета? Догадка, выдвинутая по этому поводу немецким математиком Бернхардом Риманом в 1859 году, для многих поколений ученых стала навязчивой идеей: изящная, интуитивно понятная и при этом совершенно недоказуемая, она остается одной из величайших нерешенных задач в современной математике. Неслучайно Математический Институт Клея включил гипотезу Римана в число семи «проблем тысячелетия», за решение каждой из которых установлена награда в один миллион долларов. Популярная и остроумная книга американского математика и публициста Джона Дербишира рассказывает о многочисленных попытках доказать (или опровергнуть) гипотезу Римана, предпринимавшихся за последние сто пятьдесят лет, а также о судьбах людей, одержимых этой задачей.

---

116

Иллюстрации и того, и другого типа заняли свое настоящее место лишь с появлением мощных компьютерных рабочих станций и быстродействующих персональных компьютеров. До того построение картинок, подобных изображенным на рисунках с 13.6 до 13.8, было исключительно нелегким делом.

117

Э.В. Барнс — в то время заместитель декана Тринити-колледжа по учебной работе. Позднее он стал англиканским епископом.

118

Автор Calcul des Résidus (фр. «Исчисление вычетов») — учебника по теории функций комплексной переменной — Эрнст Линделёф (1870–1946) был главным героем скандинавской математики, развитию которой он уделял много сил, занимаясь преподаванием, научной работой и написанием учебников. Он родился в Хельсинки и в начале своей жизни был подданным русского царя — Финляндия получила независимость от России лишь в 1917 г. Линделёф, однако, был финским патриотом (один из двух финнов в этой книге) и с энтузиазмом принял участие в жизни нового государства. Он высказал гипотезу («гипотезу Линделёфа») — знаменитое предположение о дзета-функции Римана, относящееся к скорости ее роста в критической полосе. Оно описано в приложении.

119

Литлвуд Дж. Математическая смесь. М.: Физматгиз. 1962. Имеются и последующие издания, например: М.: Наука. 1978. (Примеч. перев.)

120

В Тринити это означало должность лектора, что предполагало регулярную стипендию и право занимать квартиру в колледже и ужинать в «зале» (столовой). Это не обязательно включало в себя перспективу получения там постоянной работы. (Речь идет о том, что репутация кембриджского Тринити-колледжа столь высока, что его администрация могла позволить себе не давать обещания постоянной работы при приеме на должности, которые во многих других местах предполагали со стороны университета подобные обязательства. — Примеч. перев.)

121

В середине 1930-х гг. советская разведка завербовала пятерых студентов старших курсов из Кембриджа; это были Гай Берджесс, Доналд Маклин, Ким Филби, Энтони Блант и Джон Кернкросс. Все члены этой «кембриджской пятерки», как их называли в Советском Союзе, со временем заняли высокое положение в британских политических и разведывательных учреждениях в 1940-х и 1950-х гг. и передавали жизненно важные сведения в СССР в течение Второй мировой войны и холодной войны. Четверо из пяти были из Тринити-колледжа, а пятый — Маклин — из Тринити-холл (отдельного и меньшего колледжа).

122

Литтон Стрэчи, Леонард Вулф, Клайв Белл, Десмонд Маккарти, Сэксон Сидни-Тернер и оба брата Стивен (Тоби и Эдриен) — все были из Тринити. Но Джон Мейнард Кейнс, Роджер Фрай и Э.М. Форстер — из Кингс-колледжа. (Созданная в 1906 г. группа «Блумсбери» объединила молодых людей, интересы которых были связаны с искусством. Центром группы была семья Стивен, где кроме Тоби и Эдриена были и две сестры, Ванесса и Вирджиния. Ванесса вскоре вышла замуж за художника Клайва Белла, а Вирджиния (Вирджиния Вулф, 1882-1941) вышла в 1912 г. за известного журналиста Леонарда Вулфа. В 1910 г. в среде блумсберийцев появился Р. Фрай, игравший важную роль в культурной жизни Англии тех лет. — Примеч. перев.)

123

«Курс анализа» (фр.) (Примеч. перев.)

124

Имеется в виду известный всякому английскому школьнику восторженный сонет поэта-романтика Джона Китса (1795-1821), написанный сразу по прочтении «Одиссеи» в далеком от оригинала, но весьма экспрессивном «ренессансном» переводе Джорджа Чапмена (1559?_1634). Сонет заканчивается строками в переводе С. Сухарева:

Вот так Кортес, догадкой потрясен,
Вперял в безмерность океана взор,
Когда, преодолев Дарьенский склон,
Необозримый встретил он простор.

(Примеч. перев.)

125

Дон — преподаватель, член совета колледжа в Кембридже и Оксфорде. (Примеч. перев.)

126

Сриниваса Рамануджан (1887-1920) — индийский математический гений-самоучка. Он написал письма трем кембриджским математикам с просьбой высказать мнение о его результатах; вник и откликнулся один лишь Харди. Среди многого другого на Харди произвела впечатление следующая найденная Рамануджаном сумма ряда:

1 − 5(1/2)3 + 9(1×3/2×4)3 − 13(1×3×5/2×4×6)3 + … = 2/π.

(Примеч. перев.)

127

«Овал» — легендарное поле для игры в крикет в лондонском Кеннингтоне. Игрок выбит, если мяч попал в калитку, когда хотя бы один из бегущих игроков находился между калитками (игрок тогда считается «bowled out») или если игрок подающей команды поймал мяч после того, как игрок бьющей команды коснулся мяча битой, но до удара мяча о землю (игрок считается «cought out»). Иннинг заканчивается, когда выбиты 10 игроков бьющей команды. (Цифра в 211 пробежек колоссально велика при любой схеме подсчета числа пробежек без выбывания). Тест-матч играется по правилам, делающим встречу самым долгим соревнованием в крикете. На два иннинга обычно отводится 5 дней. (Примеч. перев.)

128

Так всегда говорится. Правда, Александерсон в книге о Джордже Пойа утверждает, что дома у Пойа их много больше.

129

Хотя на корешке моего экземпляра (первого издания) написано просто Primzahlen.

130

«О нулях функции Римана ζ(s)». Упоминаемая чуть ниже статья Литлвуда: «О распределении простых чисел». (Примеч. перев.)

131

Разумеется, предпочтительнее знать точный ответ; но речь идет о том, что часто удается доказать лишь менее строгое ограничение. (Примеч. перев.)

132

В задачах такого типа имеются еще и нижние границы. Нижняя граница — это такое число N, для которого можно доказать, что, каков бы ни был точный ответ, он заведомо больше, чем N. В случае с литлвудовым нарушением, похоже, сделано куда меньше — можно думать, из-за того, что все знают, что точное значение числа, при котором происходит первое нарушение, необычайно велико. Делеглиз и Риват в 1996 г. установили в качестве нижней границы 1018, а позднее довели нижнюю границу до 1020, однако ввиду результата Бейса и Хадсона подобные нижние границы почти ничего не значат.

133

Если имена Бейса и Хадсона кажутся знакомыми, то это из-за того, что они упоминались в главе 8.iv в связи с отклонением Чебышева. На самом деле на очень глубоком уровне, определенно слишком глубоком, чтобы здесь о нем говорить, имеется родство между тенденцией функции Li(x) быть больше, чем π(x), и чебышевскими отклонениями. В теории чисел эти два вопроса обычно рассматриваются совместно. В действительности в работе Литлвуда 1914 г. показано не только, что тенденция функции Li(x) быть больше, чем π(x), нарушается бесконечно много раз, но и что тоже самое верно для чебышевских отклонений. По поводу некоторых недавних. весьма впечатляющих и глубоких результатов по этому вопросу см. статью Майкла Рубинстейна и Питера Сарнака Chebyshev's bias в журнале: Experimental Mathematics. 1994. Vol. 3. P. 173-197.

134

Читателям популярной литературы по математике фон Кох более известен благодаря «кривой Коха». В этом контексте всегда опускают «фон» — ума не приложу, почему. (Кривая Коха — фрактальная кривая, которая нигде не имеет касательной, хотя всюду непрерывна. Три копии кривой Коха, расположенные вдоль сторон правильного треугольника, образуют «снежинку Коха». — Примеч. перев.)

135

Или не зная о книге Бахманна, или же (что более вероятно) просто решив не использовать новое обозначение с Ο большим, фон Кох на самом деле выразил свои результат в более традиционном виде:

|f(x) − Li(x)| < K∙√x∙ln x.

136

В этой области ведется немало исследований. Весьма вероятно, что на самом деле π(x) = Li(x) + Ο(√x), что, возможно, и имел в виду Риман в своем замечании насчет «порядка величины». Однако мы ни в какой мере не близки к доказательству этого факта. Некоторые исследователи, между прочим, предпочитают обозначение Οε(x1/2+ε), чтобы подчеркнуть, что постоянная, подразумеваемая в определении О большого, зависит от ε. Если использовать это обозначение, то логика раздела 15.iii слегка изменяется. Заметим, что квадратный корень из N примерно в два раза короче (я имею в виду, что он содержит примерно в два раза меньше цифр), чем N. Отсюда следует (хотя я и не буду останавливаться ради подробного доказательства), что Li−1(N) дает для N-го простого числа правильный результат примерно до половины длины (примерно первая половина цифр оказывается правильной). Выражение Li−1(N) здесь надо понимать в смысле обратной функции, как в главе 13.ix, следующим образом: «число К, для которого Li(K) = N». Миллиардное простое, например, есть 22 801 763 489, a Li−1(1 000 000 000) равно 22 801 627 415, где мы видим пять, почти шесть правильных цифр из одиннадцати.