Джон Дербишир - Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике.

• Название: Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике.
• Автор: Джон Дербишир
• Издательство: Астрель: CORPUS
• Жанр: Математика
• Год: 2010
• ISBN: 978-5-271-25422-2

Сколько имеется простых чисел, не превышающих 20? Их восемь: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 и 19. А сколько простых чисел, не превышающих миллиона? Миллиарда? Существует ли общая формула, которая могла бы избавить нас от прямого пересчета? Догадка, выдвинутая по этому поводу немецким математиком Бернхардом Риманом в 1859 году, для многих поколений ученых стала навязчивой идеей: изящная, интуитивно понятная и при этом совершенно недоказуемая, она остается одной из величайших нерешенных задач в современной математике. Неслучайно Математический Институт Клея включил гипотезу Римана в число семи «проблем тысячелетия», за решение каждой из которых установлена награда в один миллион долларов. Популярная и остроумная книга американского математика и публициста Джона Дербишира рассказывает о многочисленных попытках доказать (или опровергнуть) гипотезу Римана, предпринимавшихся за последние сто пятьдесят лет, а также о судьбах людей, одержимых этой задачей.

---

Рисунок 18.2. Собственные значения случайной эрмитовой матрицы размера 269×269.

Никакого явного закона в распределении интервалов не просматривается. Хочется сказать, что они случайны. Но нет! На рисунке 18.3 показаны 269 чисел, выбранных совершенно случайно в интервале от 0 до 10 и изображенных тем же образом. Сравнение рисунков 18.2 и 18.3 позволяет увидеть, что собственные значения случайной матрицы раскиданы по прямой не случайным образом. На рисунке 18.2 заметен эффект отталкивания, тогда как для случайного разброса на рисунке 18.3 мы видим, что имеется большее по сравнению с распределением собственных значений число пар, расположенных достаточно близко друг к другу (а потому, неизбежно, и большее количество тех, что сидят дальше друг от друга). Хотя собственные значения на рисунке 18.2 и отказываются следовать какому-нибудь заметному глазу порядку (в конце концов, они же возникли из случайной матрицы!), они все же изо всех сил стараются сохранять дистанцию между собой. Напротив, чисто случайная точка, судя по всему, совсем не возражает, если ее прижмут к другой случайной точке.

Рисунок 18.3. Случайные интервалы между числами: 269 случайных чисел в интервале от 0 до 10.

Позвольте ввести три профессиональных термина, имеющие прямое отношение к обсуждаемому вопросу. Множество случайных (т.е. гауссовых случайных) эрмитовых матриц[164]{A9} описанного типа называется во всей своей совокупности «гауссовым унитарным ансамблем» (ГУА). Точные статистические свойства интервалов в длинных неоднородных строках из чисел типа тех, что фигурируют в приведенных примерах, выражаются так называемой парной корреляционной функцией. А некоторое отношение, связанное с этой функцией и достаточно точно эту функцию характеризующее, называется формфактором.

Теперь я готов рассказать о знаменательной встрече, которая привела к постановке весьма странных и загадочных вопросов о Гипотезе Римана и впоследствии послужила «виновницей» тысяч исследовательских проектов.

III.

Эта встреча произошла в 1972 году, когда в Институте высших исследований в Принстоне случайно столкнулись специалист по теории чисел и физик. Специалистом по теории чисел был Хью Монтгомери — молодой американец, который тогда состоял в аспирантуре в кембриджском Тринити-колледже — колледже Г.X. Харди. Физиком же был Фримен Дайсон, который в то время являлся профессором в принстонском Институте высших исследований. Дайсон, которого мы уже упоминали, был известным физиком. В тот момент он еще не освоил параллельную профессию автора наводящих на размышления бестселлеров о происхождении и будущем человеческого рода.

Как раз незадолго до этого Хью Монтгомери исследовал интервалы между нетривиальными нулями дзета-функции. Это исследование не было частью программы по возможному доказательству Гипотезы Римана. Просто так случилось, что определенный результат о природе этих интервалов имел приложения в области теории чисел, для полей, несколько напоминающих поле а + b√2, с которым мы познакомились в главе 17.ii.[165] Этим и занимался Монтгомери. Вот как звучит эта история в его собственном изложении:

Я сделал эту работу еще будучи аспирантом. Я уже подготовил текст диссертации, но еще не защитился. В начале работы я не понимал, что все это означает. У меня было такое чувство, что здесь нечто скрывается, но я не знал, что именно, и это меня сильно тревожило.

Той весной 1972 года Хэролд Даймонд[166] организовал конференцию по аналитической теории чисел в Сент-Луисе. Я поехал на эту конференцию и сделал там доклад, а потом полетел в Энн-Арбор. К тому моменту я принял приглашение на работу в Энн-Арбор и собирался купить там дом. И действительно купил. Затем, на обратном пути в Англию, я остановился в Принстоне с целью поговорить с Атле [Сельбергом] о своей работе. Я побаивался, что, показав ему свои результаты, услышу в ответ: «Неплохо, Хью, но я доказал все это много лет назад». С моей души упал камень, когда он ничего такого не сказал. Он выказал некоторый интерес, но в целом достаточно поверхностный.

В тот же день вечером мы вместе с Чоула[167] отправились на чай в Фалд-Холл. Посреди комнаты я увидел Фримена Дайсона. Предыдущий год я провел в Институте и прекрасно знал Дайсона в лицо, однако никогда с ним не разговаривал. Чоула спросил: «Вы знакомы с Дайсоном?» Я ответил, что не знаком. Он сказал: «Давайте я вас представлю». Я сказал, что не надо, я как-то не настроен знакомиться с Дайсоном. Но Чоула не отставал и в конце концов поволок меня через всю комнату, чтобы представить Дайсону. Дайсон был очень вежлив и спросил меня, чем я занимаюсь. Я ответил, что изучаю разности между нетривиальными нулями дзета-функции Римана и что у меня есть гипотеза, что в выражении для функции распределения этих разностей под интегралом стоит 1 − (sin πu/πu)2. Он очень оживился и сказал: «Это же формфактор для парных корреляций собственных значений случайных эрмитовых матриц!»

До этого я и не слышал о «парных корреляциях». Оказалось, что именно они являются недостающим связующим звеном. На следующий день Атле передал мне записку Дайсона со ссылкой на книгу Мехты[168] и с указанием на то, какие именно места мне надо посмотреть, и т.д. Этот разговор с Дайсоном остался нашим единственным разговором, и его письмо ко мне также было ровно одно. Но и этого оказалось немало. Я полагаю, что к сегодняшнему дню эту связь все равно удалось бы как-нибудь найти, но, без сомнения, было крупным везением, что она нашлась так быстро, потому что, когда я писал статью в выпускаемый по итогам конференции сборник, я уже был в состоянии использовать соответствующую терминологию, привести ссылки и дать интерпретацию. Забавно, что несколько лет спустя Дайсон опубликовал статью под заглавием «Упущенные возможности». Наверняка имеется масса упущенных возможностей, но моя история представляет собой контрпример. Поистине потрясающее стечение обстоятельств привело к нашей встрече в самый решительный момент.

Нетрудно понять, почему Фримен Дайсон так оживился. Выражение, упомянутое Хью Монтгомери, — выражение, которое возникло из исследований нетривиальных нулей дзета-функции Римана, — оказалось в точности формфактором, связанным с эрмитовыми матрицами, т.е. с объектом, которым Дайсон занимался в течение нескольких лет до этого в ходе исследования квантовых динамических систем. (И Монтгомери даже преуменьшил степень чудесного везения, благодаря которому произошла их встреча. Хотя Дайсон приобрел известность как физик, свою первую ученую степень он получил по математике, причем первой областью его интересов была теория чисел. Если бы не эта его предыстория, то он не смог бы оценить сообщение Монтгомери.[169])

Чтобы проиллюстрировать сказанное, возьмем все нетривиальные нули дзета-функции Римана до высоты 500i — т.е. на критической прямой от 1/2 до 1/2 + 500i (на этих небольших высотах мы точно знаем, что Гипотеза Римана верна). В этом интервале имеется 269 нулей (именно поэтому на рисунках 18.2 и 18.3 выбрано число 269). Они показаны на рисунке 18.4: интервал, на котором они живут, разбит на 10 отрезков, которые расположены друг над другом аналогично тому, как мы это делали раньше. Сравнивая рисунок 18.4 с рисунками 18.2 и 18.3, можно заметить, что он похож на рисунок 18.2, но не на рисунок 18.3.

Рисунок 18.4. Первые 269 значений t, где 1/2 + ti — нетривиальные нули дзета-функции.

При сравнении этих рисунков надо кое-что принять во внимание. Нулям дзета-функции на рисунке 18.4 требуется некоторое время для «разгона», и в соответствии с принципом, описанным в главе 13.viii, они группируются плотнее в более высоких областях вдоль критической прямой. Кроме того, собственные значения на рисунке 18.2 расположены несколько более свободно в начале и, соответственно, несколько более тесно в середине. Оба эффекта можно уменьшить, если взять большее количество нулей для большей матрицы, а также использовать нормировку (см. ниже). Даже с учетом этих искажений на основе приведенных рисунков довольно правдоподобными представляются следующие выводы.

• Ни нули дзета-функции, ни собственные значения не похожи на случайным образом разбросанные точки.

• Нули дзета-функции и собственные значения ведут себя похожим образом.

• В частности, и для нулей дзета-функции, и для собственных значений наблюдается эффект отталкивания.

IV.

Статья Монтгомери об интервалах между нулями дзета-функции была опубликована в журнале Американского математического общества в 1973 году. Она начинается словами «На протяжении данной статьи мы принимаем справедливость Гипотезы Римана (ГР)…». В этом нет ничего особенного. К 1973 году множество математических статей состояли из теорем, в которых предполагалась справедливость Гипотезы.[170] На сегодняшний день число их выросло еще больше, и если ГР (как отныне я буду ее именовать, следуя Монтгомери и всем другим современным исследователям) окажется неверной, то вся эта структура обвалится. Правда если контрпримеров окажется немного, значительную часть удастся спасти.