Джон Дербишир - Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике.

• Название: Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике.
• Автор: Джон Дербишир
• Издательство: Астрель: CORPUS
• Жанр: Математика
• Год: 2010
• ISBN: 978-5-271-25422-2

Сколько имеется простых чисел, не превышающих 20? Их восемь: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 и 19. А сколько простых чисел, не превышающих миллиона? Миллиарда? Существует ли общая формула, которая могла бы избавить нас от прямого пересчета? Догадка, выдвинутая по этому поводу немецким математиком Бернхардом Риманом в 1859 году, для многих поколений ученых стала навязчивой идеей: изящная, интуитивно понятная и при этом совершенно недоказуемая, она остается одной из величайших нерешенных задач в современной математике. Неслучайно Математический Институт Клея включил гипотезу Римана в число семи «проблем тысячелетия», за решение каждой из которых установлена награда в один миллион долларов. Популярная и остроумная книга американского математика и публициста Джона Дербишира рассказывает о многочисленных попытках доказать (или опровергнуть) гипотезу Римана, предпринимавшихся за последние сто пятьдесят лет, а также о судьбах людей, одержимых этой задачей.

---

Но кроме отсутствия амбиций Гаусс демонстрировал и отсутствие такта. Он нажил массу неприятностей в общении с коллегами-математиками из-за того, что ссылался на открытия, которые он сделал, но не опубликовал за годы до того, как другие открывали то же самое, однако публиковали свои результаты. Дело было не в тщеславии — Гауссу не было свойственно тщеславие, — а в том, что доктор Джонсон называл «грубой бесчувственностью». Например, в опубликованной в 1809 году книге Гаусс ссылается на метод наименьших квадратов, придуманный им в 1794 году (способ найти наилучшую «подгонку» для некоторого количества экспериментальных данных). В момент, когда он сделал это открытие, он его, разумеется, не опубликовал. Принадлежащий к чуть более старшему поколению французский математик Адриен-Мари Лежандр открыл и опубликовал этот метод в 1806 году; он был разъярен, когда Гаусс приписал приоритет открытия себе. У нас нет сомнений в правоте Гаусса — тому имеются документальные подтверждения, — но если Гаусс желал, чтобы его имя ассоциировалось с этим результатом, ему надо было его опубликовать. Он, однако, не беспокоился, будет ли увековечено его имя, и не намеревался публиковать свои результаты, если ему не хватало времени отполировать их до полного совершенства.

III.

В декабре 1849 года Гаусс вел переписку с немецким астрономом Йоханом Францем Энке (именем которого названа знаменитая комета)[24] Энке высказал кое-какие комментарии по поводу частоты появления простых чисел. Ответное письмо Гаусса начиналось так:

Любезное сообщение о ваших наблюдениях по поводу частоты появления простых чисел заинтересовало меня более, чем просто упоминание. Оно напомнило мне мои собственные изыскания по тому же предмету, начало которым было положено в далеком прошлом, в 1792 или 1793 году. <…> Одна из первых вещей, которые я сделал, состояла в том, что, обратив внимание на уменьшающуюся частоту, с которой появляются простые числа, я их вычислил в нескольких группах из тысячи чисел и бегло набросал результаты, листок с которыми прилагаю к письму. Я вскоре осознал, что при всех своих флуктуациях эта частота в среднем близка к величине, обратно пропорциональной логарифму… (Курсив мой. — Дж. Д.) С тех пор я время от времени (поскольку мне недостает терпения, чтобы последовательно посчитать весь интервал) уделяю свободные четверть часа, чтобы то тут, то там пересчитать еще один отрезок длиной в тысячу; но в конце концов я забросил это дело, не добравшись толком и до миллиона.

Итак, начиная с 1792 года — когда ему было лишь 15 лет! — Гаусс забавлялся пересчетом всех простых чисел в интервале из 1000 чисел за раз и довел эти вычисления до сотен тысяч («не добравшись толком и до миллиона»). Чтобы представить себе, усилия какого порядка здесь требуются, я задался целью извлечь все простые числа из отрезка в тысячу чисел от 700 001 до 701 000, пользуясь при этом лишь теми средствами, которые могли быть доступны Гауссу, — карандашом, несколькими листами бумаги и списком простых чисел до 829 — именно такие простые требуются в процессе поиска простых среди чисел до 701 000.[25] Сознаюсь, что я бросил это занятие через час, когда я провел вычисления с простыми делителями до 47 — что означает, что мне оставалось еще 130 простых делителей. Я приглашаю вас самостоятельно попробовать такое упражнение. Это и были гауссовы «свободные четверть часа» (unbeschäftigte Viertelstunde).

Предложение, выделенное курсивом в отрывке из письма, которое Гаусс написал Энке, и составляет один из двух связанных с ТРПЧ результатов, обсуждавшихся в главе 3.ix. Как там было замечено, это утверждение эквивалентно самой ТРПЧ. Нет никаких сомнений в том, что Гаусс действительно работал над этим в начале 1790-х годов. Его заявлениям было найдено документальное подтверждение, так же как и другим заявлениям того же типа. Он просто не трудился публиковать свои результаты.

IV.

Любопытно, что первая опубликованная работа, относящаяся к ТРПЧ, принадлежит тому самому Адриену-Мари Лежандру, которого так возмутило заявление Гаусса об открытии им метода наименьших квадратов. В 1798 году — через пять или шесть лет после того, как Гаусс докопался до формулировки ТРПЧ, но не предоставил свои результаты в распоряжение человечества, — Лежандр опубликовал книгу, озаглавленную «Очерки о теории чисел», в которой он на основе своих собственных подсчетов числа простых чисел высказал предположение, что

для некоторых чисел A и B, которые «подлежат определению». В более позднем издании своей книги он уточнил это предположение (доказать которое он не смог) таким образом:

где A при больших значениях x стремится к некоторому числу, близкому к 1,08366. Гаусс обсуждает предположения Лежандра в своем письме к Энке в 1849 году он отвергает значение 1,08366, но не приходит ни к каким другим определенным выводам.

Нет сомнений, что если бы несчастный Лежандр прочитал письмо Гаусса к Энке, то оно вызвало бы у него еще один приступ гнева. По счастью, он скончался за несколько лет до того, как это письмо было написано.[26]

V.

Раз уж эта глава посвящена обзору важных открытий и предположений, сделанных до 1800 года, и поскольку именно этот человек был создателем Золотого Ключа, о котором мы так много всего будем говорить в последующих главах, сейчас самое время представить вам другого математического гения высшей пробы, родившегося в XVIII столетии, — Леонарда Эйлера. Эйлер (1707-1783), как пишет Э.Т. Белл в своей книге «Творцы математики»[27], был, «вероятно, величайшим из всех ученых, которых породила Швейцария»; насколько мне известно, он остается единственным математиком, именем которого названы два числа: уже упоминавшееся число e, равное 2,71828…, и число Эйлера-Маскерони, для внятного описания которого в этой книге недостаточно места[28], равное 0,57721…{A6} Чтобы познакомить вас с Эйлером, мне придется сначала представить вам новый географический регион, сыгравший важную роль в истории нашей темы.

Россия, как, я думаю, хорошо известно, вступила в современную эпоху несколько позднее остальной Европы, причем это вступление свершилось главным образом благодаря энергии и силе воображения Петра Великого, взошедшего на трон десятилетним мальчиком в 1682 году. Годами правления Петра обычно считаются 1682-1725, но в течение первых семи лет он правил совместно со своим подслеповатым, хромым и плохо выговаривающим слова сводным братом Иваном, а реальное управление находилось в руках сестры Ивана Софьи. Петр добился единоличного правления лишь в 1689 году в возрасте 17 лет. Но он и тогда не выказал большого интереса к государственным делам и провел следующие пять лет в забавах. По счастью, он был человеком острого ума и неуемной любознательности, и многие из его забав оказывались весьма полезными. Ему особенно нравилось общество иностранцев, которые к тому времени в значительном числе расселились в пригороде Москвы, в так называемой Немецкой слободе. Здесь, среди шотландских наемников, голландских купцов и немецких и швейцарских инженеров, Петр мог познакомиться с европейской наукой и культурой, а заодно удовлетворить свою страсть к фейерверкам и кораблям (в перерывах между бурными застольями и кутежами ночи напролет). В 1692-1693 годах на Плещеевом озере Петр сам построил военный корабль, от киля до мачт. В следующем 1694 году умерла его мать, и Петр стал полновластным государем.

В 1695-1696 годах этот необычный и необычной внешности человек — вдобавок к росту в 6 футов 7 дюймов он страдал нечастыми, но устрашающими лицевыми судорогами — напал на порт Азов на Черном море и отобрал его у турок-оттоманов. В 1697-1698 годах он инкогнито отправился во Францию, Британию и Голландию, став первым российским самодержцем, вообще выехавшим за границу; в ходе своего путешествия он учился. (По поводу его странствий в Британии хорошо известна — хотя и является, скорее всего, апокрифом — следующая история. Остановившись в сельском доме Джона Ивлина в пригороде Лондона, Петр однажды вошел в гостиную с мушкетом в руках и заявил на своем ломаном английском: «Я только что стрелял пейзан». — «Нет, нет, мой добрый друг, — со смехом ответил хозяин, — вы имеете в виду фазана». — «Nyet, — ответил Петр, качая головой, — Это быфф пейзан. Он быфф дерзкий, унт я стрелял его».) Вернувшись в Россию, Петр приступил к осуществлению целого ряда невиданных реформ, повелев боярам сбрить бороды, усмирив церковь и уничтожив старую московскую царскую гвардию — стрельцов, которые терроризировали его в детстве. В 1700 году он начал двадцатилетнюю войну со шведским королем Карлом; в 1703 году Петр вторгся на шведские земли и занял области вдоль Невы, от Ладожского озера до берегов Балтики. Там, на земле, которая все еще формально принадлежала могущественному и непобежденному врагу, в болотистой дельте Невы, он основал новую столицу, Санкт-Петербург.