Морис Клайн - Математика. Утрата определенности.

• Название: Математика. Утрата определенности.
• Автор: Морис Клайн
• Издательство: Мир
• Жанр: Математика
• Год: 1984

Книга известного американского математика, профессора Нью-Йоркского университета М. Клайна, в яркой и увлекательной форме рисующая широкую картину развития и становления математики от античных времен до наших дней. Рассказывает о сущности математической науки и ее месте в современном мире.

Рассчитана на достаточно широкий круг читателей с общенаучными интересами.

---

У нас может вызвать удивление, что Ньютон и Лейбниц могли довольствоваться столь грубыми рассуждениями. Еще до того, как они приступили к созданию дифференциального и интегрального исчисления, другие великие математики достигли выдающихся успехов, о которых и Ньютон, и Лейбниц, изучавшие труды своих предшественников, безусловно, хорошо знали. Знаменитое высказывание Ньютона «Если я видел дальше других, то лишь потому, что стоял на плечах гигантов» не просто проявление скромности, а констатация факта. Что же касается Лейбница, то он был одним из величайших мыслителей. Мы уже упоминали (гл. III) о том, сколь значительный вклад он внес в развитие различных областей человеческого знания. По широте и силе интеллекта Лейбница можно сравнить разве что с Аристотелем. Разумеется, создание дифференциального и интегрального исчисления потребовало разработки принципиально новых, очень тонких идей, а даже лучшие из умов, способные к величайшим творческим свершениям, не всегда до конца постигают то, что ими же создано.

Ни Ньютон, ни Лейбниц не могли полностью объяснить вводимые ими понятия или обосновать новые операции. Они полагались на плодотворность своих методов, совпадение получаемых ими независимо друг от друга результатов, и продолжали упорно и энергично двигаться вперед, не особенно задумываясь о строгости. Лейбниц, заботившийся о строгости меньше, чем Ньютон, хотя и чаще отвечавший на возражения критиков, считал, что лучшим обоснованием используемых им методов служит их эффективность. Он неоднократно подчеркивал «рецептурную», или алгоритмическую, ценность своих методов. Лейбниц почему-то был убежден, что, сколь бы неясным ни выглядел смысл понятий, результаты рассуждений будут разумны и правильны, если верно сформулировать и надлежащим образом применять правила действий. Подобно Декарту, Лейбниц был человеком проницательным, мыслившим широко. Он предвидел отдаленные последствия новых идей и, не колеблясь, провозгласил рождение новой науки.

Обоснование математического анализа по-прежнему оставалось неясным. Сторонники Ньютона толковали о простых и предельных отношениях; последователи Лейбница предпочитали пользоваться инфинитезимальными, или бесконечно малыми, величинами. Существование столь несхожих между собой подходов осложняло и без того нелегкую работу по обоснованию математического анализа. Кроме того, некоторые английские математики — возможно, в силу традиционной привязанности к греческой геометрии — предъявляли более жесткие требования к строгости доказательств и поэтому с недоверием относились к подходам как Ньютона, так и Лейбница. Другие английские математики, вместо того чтобы заниматься математикой, предпочитали изучать труды Ньютона и поэтому не продвинулись ни на шаг на пути к обоснованию дифференциального и интегрального исчисления. Таким образом, к концу XVII в. математический анализ, так же как арифметика и алгебра, пребывал в состоянии полной неразберихи.

Распространение методов математического анализа на новые области привело к появлению новых понятий и методов, что еще больше осложнило проблему обоснования дифференциального и интегрального исчисления. Примером такого рода дополнительных трудностей могут служить бесконечные ряды. Напомним, с какого рода проблемами столкнулись математики при рассмотрении бесконечных рядов.

Представив функцию 1/(1 + x) в виде (1 + x)−1 и применив к последней теорему о разложении бинома, получим

1/(1 + x) = (1 + x)−1 = 1 − x + x2 − х3 + x4 − …, (8)

где многоточие означает, что число членов, выписываемых по такому же закону, как и несколько первых, можно увеличивать неограниченно. Вводя в математический анализ бесконечные ряды, математики намеревались заменить ими функции в таких операциях, как дифференцирование (нахождение производных) и интегрирование (антидифференцирование), поскольку производить операции с более простыми членами ряда гораздо легче, чем с исходными функциями. Кроме того, ряды позволяли по заданному значению независимой переменной вычислять значения таких функций, как, скажем, sin x. Во всех этих случаях важно знать, что ряд равносилен исходной функции. Но функции при заданном x принимают вполне определенные значения; поэтому прежде всего возникает вопрос: какое значение принимает при заданном x выбранный нами ряд? Иначе говоря, что мы понимаем под суммой ряда и как ее вычислить? Второй, не менее важный вопрос можно было бы сформулировать так: представляет ли ряд функцию при всех значениях x или по крайней мере при всех тех значениях x, при которых функция имеет смысл.

В первой работе по математическому анализу (1669) Ньютон не без гордости ввел бесконечные ряды для упрощения основных операций — дифференцирования и интегрирования. Так, воспользовавшись для интегрирования (антидифференцирования) функции y = 1/(1 + x2) теоремой о разложении бинома, Ньютон получил ряд

y = 1 − x2 + х4 − x6 + х8 − …,

который и проинтегрировал почленно. Ньютон обратил внимание на то, что если ту же функцию представить в виде y = 1/(x2 + 1), то та же теорема о разложении бинома даст ряд

y = 1/x2 − 1/х4 + 1/x6 − 1/х8 + ….

Ньютон заметил далее, что при достаточно малом x следует пользоваться первым разложением, а при достаточно большом x — вторым. Из этого видно, что Ньютон интуитивно сознавал важность такого свойства ряда, как сходимость, хотя и не имел о нем ясного представления.

Обоснование, данное Ньютоном производимым им операциям над бесконечными рядами, может служить великолепным образцом логики того времени. В статье 1669 г. Ньютон утверждал:

То, что обычный анализ [алгебра] выполняет с помощью уравнений с конечным числом членов (если это выполнимо), [новый анализ] всегда может выполнить с помощью уравнений с бесконечным числом членов [рядов]; поэтому я, не задумываясь, назвал новое исчисление анализом. Рассуждения в нем не менее надежны, чем в обычном анализе, не менее точны и уравнения, хотя мы, смертные, чей разум ограничен узкими пределами, не можем ни выразить, ни постичь все члены этих уравнений дабы найти из них точные значения тех величин, которые нам нужны.

Для Ньютона бесконечные ряды были частью алгебры — высшей алгебры, изучающей выражения не с конечным, а с бесконечным числом членов.

Подобно Ньютону и Лейбницу, над решением странной проблемы бесконечных рядов бились несколько представителей славного математического рода Бернулли, а также Эйлер, Д'Аламбер и другие математики XVIII в. Применяя бесконечные ряды в анализе, они совершали всевозможные ошибки, предлагали неверные доказательства, приходили к неверным заключениям. Более того, иногда они в обоснование своих результатов приводили рассуждения, которые мы, ретроспективно, можем назвать лишь смехотворными и нелепыми. Даже беглого перечисления таких рассуждений достаточно, чтобы понять, какая сумятица и неразбериха царили тогда в представлениях о свойствах бесконечных рядов.

При x = 1 ряд (8), представляющий функцию 1/(1 + x),

1/(1 + x) = 1 − x + x2 − х3 + x4 − …, (8)

переходит в ряд

1 − 1 + 1 − 1 + 1 − ….

Вопрос о том, чему равна сумма последнего ряда, порождал бесконечные споры. Если этот ряд записать в виде

(1 − 1) + (1 − 1) + (1 − 1) + …,

то становится ясно, что его сумма должна быть равна нулю. Но если тот же ряд записать как

1 − (1 − 1) − (1 − 1) −  …,

то столь же ясно, что сумма ряда должна равняться единице. Однако ясно также и то, что если сумму ряда обозначить через S, то

S = 1 − (1 − 1 + 1 − 1 + …),

или

S = 1 − S,

откуда S = 1/2. Последний результат подкрепляется еще одним доводом. Интересующий нас ряд можно рассматривать как геометрическую прогрессию со знаменателем −1, а сумма бесконечной геометрической прогрессии с первым членом a и знаменателем r равна a/(1 − r). В нашем случае сумма равна 1/[1 − (−1)], или 1/2.

Гвидо Гранди (1671-1742) в своем небольшом сочинении «Квадратура окружностей и гипербол» (Quadratura circuit et hyperbolae, 1703) другим методом получил сумму, равную 1/2. Полагая в (8) x = 1, он нашел:

1/2 = 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − ….