Морис Клайн - Математика. Утрата определенности.

• Название: Математика. Утрата определенности.
• Автор: Морис Клайн
• Издательство: Мир
• Жанр: Математика
• Год: 1984

Книга известного американского математика, профессора Нью-Йоркского университета М. Клайна, в яркой и увлекательной форме рисующая широкую картину развития и становления математики от античных времен до наших дней. Рассказывает о сущности математической науки и ее месте в современном мире.

Рассчитана на достаточно широкий круг читателей с общенаучными интересами.

---

Рис. 4.5. Вектор.

В том же XVI в. в математике появились комплексные числа, т.е. числа вида а + bi, где i = √−1, а а и b — вещественные числа. Даже математики считали комплексные числа весьма загадочными. Поэтому, когда около 1800 г. несколько математиков [Каспар Вессель (1745-1818), Жан Робер Арган (1786-1822) и Гаусс] поняли, что комплексным числам можно сопоставить направленные отрезки на плоскости (рис. 4.6), их открытие стало подлинной сенсацией. Эти математики сразу же осознали, что комплексные числа можно использовать не только для представления векторов на плоскости, но и для выполнения операций сложения, вычитания, умножения и деления векторов.

Рис. 4.6. Геометрическое представление комплексных чисел.

Иначе говоря, комплексные числа позволяют представить векторную алгебру, подобно тому как целые и дробные числа позволяют представить, например, коммерческую сделку. Следовательно, вместо того чтобы производить операции над векторами геометрически, их можно осуществлять алгебраически. Так, сложение двух векторов OA и OB (рис. 4.7) по правилу параллелограмма приводит к сумме, или результирующему вектору ОС. Ту же операцию можно выполнить алгебраически, представив вектор OA комплексным числом 3 + 2i, а вектор OB — комплексным числом 2 + 4i. Сумма этих комплексных чисел (комплексное число 5 + 6i) соответствует результирующему вектору ОС.

Рис. 4.7. Сложение комплексных чисел по правилу параллелограмма.

К 30-м годам XIX в. идея использования комплексных чисел для представления векторов на плоскости и выполнения операций над ними получила достаточно широкое распространение. Но если на тело действуют несколько сил, то эти силы и представляющие их векторы не обязательно должны лежать в одной и той же плоскости — и даже обычно не лежат в ней. Условимся для удобства называть обычные вещественные числа одномерными, а комплексные — двумерными. Тогда для представления пространственных векторов и выполнения операций над ними было бы естественно ввести «трехмерные» числа. Как и в случае комплексных чисел, допустимые операции над трехмерными числами должны были бы включать сложение, вычитание, умножение и деление. Для того, чтобы над этими числами можно было беспрепятственно и эффективно производить алгебраические операции, они должны обладать обычными свойствами вещественных и комплексных чисел. Так, математики принялись за поиски «трехмерных комплексных чисел». 

Над решением этой проблемы бились многие. Полезный пространственный аналог комплексных чисел предложил в 1843 г. Уильям Роуан Гамильтон. Пятнадцать лет он непрестанно размышлял над этой проблемой. Умножение всех известных к тому времени чисел обладало свойством коммутативности, т.е. всегда было ab = ba, — и Гамильтон вполне естественно полагал, что трехмерные, или трехкомпонентные, числа также должны обладать этим свойством, равно как и другими свойствами вещественных и комплексных чисел. Гамильтону удалось добиться успеха лишь ценой двух компромиссов: во-первых, его новые числа обладали четырьмя компонентами, а не тремя, как ему первоначально хотелось, и, во-вторых, ему пришлось пожертвовать свойством коммутативности умножения (сохранив, однако, ассоциативность: для любых трех кватернионов p, q и r всегда (pq)r = p(qr)). Оба необычных свойства введенных Гамильтоном чисел произвели подлинный переворот в алгебре. Гамильтон назвал найденные им новые числа кватернионами. 

Если комплексное число представимо в виде а + bi, где i = √−1, то кватернион — это число, представимое в виде 

a + bi + cj + dk,

где i, j и k обладают таким же свойством, как и √−1, т.е.

i2 = j2 = k2 = −1.

Два кватерниона равны в том и только том случае, если попарно равны коэффициенты a, b, c и d в представлениях этих чисел. При сложении двух кватернионов суммы соответствующих коэффициентов образуют новые коэффициенты. Таким образом, сумма двух кватернионов сама также является кватернионом. Чтобы определить умножение кватернионов, Гамильтону пришлось задать произведения i и j, i и k, j и k. Гамильтон исходил из того, что произведение кватернионов должно быть кватернионом и что кватернионы должны сохранять как можно больше свойств вещественных и комплексных чисел. Достичь желаемого ему удалось, приняв правила умножения: 

jk = i, kj = −i,

ki = j, ik = −j,

ij = k, ji = −k. 

Эти правила означают, что умножение кватернионов не коммутативно, т.е. если p и q — кватернионы, то pq не равно qp. Выполнимо и деление одного кватерниона на другой. Но поскольку умножение кватернионов не коммутативно, то разделить кватернион p на кватернион q означает найти либо такой кватернион r, что р = qr, либо такой кватернион r, что p = rq. Частное r в этих двух случаях не обязательно должно быть одним и тем же; поэтому их и записывают по-разному: в первом случае пишут r = q−1p, a во втором — pq−1. Хотя кватернионы не получили столь широкого применения, как рассчитывал Гамильтон, ему удалось с их помощью решить немало физических и геометрических задач.

Введение кватернионов явилось еще одним потрясением для математики. Налицо был пример физически полезной алгебры, не обладающей фундаментальным свойством всех известных ранее чисел — здесь не выполнялось правило ab = ba.

Вскоре после того, как Гамильтон создал свои кватернионы, математики, работавшие в других областях, ввели еще более необычные алгебры. Знаменитый алгебраист и геометр Артур Кэли (1821-1895) ввел матрицы — квадратные или прямоугольные таблицы чисел. Над матрицами также можно было производить обычные алгебраические операции, но умножение матриц, как и кватернионов, не было коммутативным. Кроме того, произведение двух матриц могло равняться нулю, даже если оба сомножителя были отличны от нуля. Кватернионы и матрицы ознаменовали начало появления нескончаемой вереницы новых алгебр со все более необычными свойствами. Несколько таких алгебр создал Герман Гюнтер Грассман (1809-1877). По своей общности они превосходили кватернионы Гамильтона. К сожалению, Грассман всю жизнь оставался преподавателем средней школы, и прошло немало лет, прежде чем его работа привлекла заслуженное внимание. Как бы то ни было, Грассман пополнил множество так называемых гиперчисел (или, как сегодня чаще говорят, гиперкомплексных чисел{57}) новыми полезными разновидностями.

Создание новых алгебр для тех или иных специальных целей само по себе не ставило под сомнение истинность обычной арифметики и ее приложений в алгебре и математическом анализе. Кроме того, обычные вещественные и комплексные числа использовались для совершенно разных целей, и их применимость нигде не вызывала сомнений. Тем не менее сам факт появления на сцене новых алгебр заставил усомниться в истинности привычной арифметики и алгебры, подобно тому как люди, узнав об обычаях неизвестной ранее цивилизации, начинают по-новому смотреть на свои собственные обычаи.

Наиболее сильной критике истинность арифметики подверглась со стороны Германа Гельмгольца (1821-1894), выдающегося физиолога, физика и математика. В своей книге «Счет и измерение» (1887) Гельмгольц провозгласил основной проблемой арифметики, обоснование ее автоматической применимости к физическим явлениям. По мнению Гельмгольца, единственным критерием применимости законов арифметики мог быть опыт. Утверждать априори, что законы арифметики применимы в любой данной ситуации, невозможно.

По поводу применимости законов арифметики Гельмгольц высказал немало ценных замечаний. Само понятие числа заимствовано из опыта. Некоторые конкретные опыты приводят к обычным типам чисел: целым, дробным, иррациональным — и к свойствам этих чисел. Однако обычные числа применимы лишь именно к этим опытам. Мы сознаем, что существуют виртуально эквивалентные объекты, и тем самым сознаем, что можем говорить, например, о двух коровах. Но чтобы выражения подобного рода сохраняли силу, рассматриваемые объекты не должны исчезать, сливаться или претерпевать деление. Одна дождевая капля, если ее слить с другой дождевой каплей, вовсе не образует двух дождевых капель. Даже понятие равенства неприменимо автоматически к каждому опыту. Кажется несомненным, что если объект a равен объекту c, а объект b равен объекту c, то объект a должен быть равен объекту b. Но два звука могут казаться по высоте такими же, как третий звук, и все же мы в состоянии отличать на слух первые два звука. Следовательно, два объекта, порознь равные третьему, не обязательно должны быть равны между собой. Аналогично цвет a может казаться таким же, как цвет b, а цвет b — таким же, как цвет c, и все же цвет a иногда удается отличить от цвета c.