Лев Понтрягин - Жизнеописание Л. С. Понтрягина, математика, составленное им самим

• Название: Жизнеописание Л. С. Понтрягина, математика, составленное им самим
• Автор: Лев Понтрягин
• Издательство: Прима
• Жанр: Биографии и Мемуары
• Год: 1998

С именем Понтрягина связана целая эпоха в развитии математики. Труды Л. С. Понтрягина оказали определяющее влияние на развитие топологии и топологической алгебры. Он заложил основы и доказал основные теоремы в оптимальном управлении и теории дифференциальных игр. Его идеи во многом предопределили развитие математики в XX веке.

Текст публикуемого ниже «Жизнеописания...» был написан, по воспоминанию вдовы Льва Семёновича — Александры Игнатьевны Понтрягиной, после тяжёлой болезни, зимой 1982–83 года, и подготовлен к изданию по рукописи, предоставленной вдовой.

Книга насквозь лична и субъективна, но в ней хорошо отражена эпоха развития науки в Советском Союзе, в частности — развитие математики. Она поражает своей правдивостью и открытостью. В этом, может быть, и есть её историческая и воспитательная ценность.

---

Таким образом, чтобы получить конкретное решение уравнения (1), т.е. конкретное движение управляемого объекта x, мы должны задать u как функцию времени, т.е. положить u = u(t) и подставить эту величину в уравнение (1). Кроме того, нужно задать начальное значение x0 при заданном t0 для вектора x: x(t0) = x0. Тогда уравнение (1) превращается в систему обыкновенных дифференциальных уравнений, которую можно решить при заданных начальных условиях. Таким образом, уравнение (1) не задаёт определённое движение управляемого объекта, а описывает лишь его возможности. Конкретные же движения определяются выбором управления.

Если наряду с управляемым объектом x мы имеем второй управляемый объект y = (y1, ..., yq), возможности которого описываются уравнением

y′ = g(y, v), (2)

где v — параметр управления, являющийся точкой некоторого заданного множества топологического пространства Q. Можно рассмотреть процесс преследования объекта y объектом x.

Отметим прежде всего, что x есть фазовый вектор объекта и что лишь часть его координат служит для задания его геометрического положения. Допустим, что вектор xI = (x1, ..., xk) определяет геометрическое положение объекта x. Также допустим, что вектор yI = (y1, ..., yl) определяет геометрическое положение объекта y. Здесь k≤p, l≤q. Если объекты x и y движутся в одном и том же геометрическом пространстве, то k=l и можно говорить о преследовании объекта y объектом x. Считают, что процесс преследования заканчивается в тот момент, когда объекты геометрически совпадают, т.е. когда мы достигли равенства

xI = yI. (3)

Процесс преследования можно рассматривать с двух различных точек зрения, приводящих к двум совершенно различным математическим задачам.

При первой точке зрения мы считаем, что управление u объекта x находится в нашем распоряжении, а объект y движется независимо от нас. При этом нашей целью является завершение процесса преследования. В этом случае в каждый момент времени t мы должны выбрать значение управления u(t), считая, что нам известно поведение обоих объектов до момента времени t, так что нам известны функции x(s), y(s), v(s), где s<t. При этом нашей целью является завершение процесса преследования. Такая задача называется задачей преследования. Считается, что она имеет положительное решение, если процесс преследования можно завершить.

При второй точке зрения мы считаем, что в нашем распоряжении находится управление v объекта y, а объект x движется независимо от нас. При этом нашей целью является предотвращение конца процесса преследования. В этом случае в каждый момент времени t мы должны найти значение управления v(t) предполагая, что известно поведение обоих объектов во время, предшествующее моменту t, т.е. известны функции x(s), y(s), u(s), где s<t. При этом нашей целью является предотвращение конца преследования. Эта задача называется задачей убегания. Считается, что задача эта имеет положительное решение, если процесс преследования продолжается неограниченно долго.

Таким образом, процесс преследования приводит нас к двум различным задачам: задаче преследования и задаче убегания.

Для того, чтобы упростить математическое описание процесса преследования, мы переходим к так называемой дифференциальной игре. Для этого объединим векторы x и y в один вектор

z: z = (x, y). (4)

Таким образом, z есть вектор, принадлежащий прямой сумме Rp⊕Rq фазовых векторных пространств объектов x и y, которую мы обозначим через Rn. А векторные дифференциальные уравнения (1) и (2) можно переписать в виде одного уравнения:

z = F(z, u, v). (5)

Условие (3) выделяет в пространстве некоторое подмножество M. Функции u и v являются управляющими параметрами дифференциальной игры: u — параметр преследования, а v — параметр убегания. При этом u принадлежит заданному топологическому пространству P, а v — топологическому пространству Q. Дифференциальная игра считается завершённой, когда фазовый вектор z достигает множества M.

Теперь мы можем отвлечься от процесса преследования объекта y объектом x и рассматривать дифференциальную игру непосредственно при помощи пространства, векторного управления (5) в этом пространстве, в которое входят два управляющих параметра u и v, заданного множества M и двух топологических пространств P и Q. Если всё это задано, то считается, что задана дифференциальная игра. С дифференциальной игрой связаны две задачи: задача преследования и задача убегания, которые легко формулировать, но этого я здесь делать не буду.

Конкретные результаты получаются, если мы рассматриваем линейную дифференциальную игру. Дифференциальная игра называется линейной, если уравнение записывается в следующей форме:

z′ = Cz – u + v. (6)

Здесь z есть вектор евклидова пространства Rn, а C — линейное отображение пространства Rn в себя. Если рассматривать задачу в координатной форме, то C есть квадратная матрица высоты и ширины n. Считается, что множество M в линейной игре есть векторное подпространство пространства Rn, а множества P и Q являются компактными выпуклыми подмножествами пространства Rn, размерность которых произвольна.

Для того, чтобы сформулировать результаты, обозначим через π операцию ортогонального проектирования пространства Rn на подпространство L, являющееся ортогональным дополнением к M.

Определим два множества Pτ, Qτ формулами:

Pτ = π ехр τ CP, Qτ = π ехр τ CQ, (7)

где ехр τ CP есть линейное отображение пространства Rn на себя, определяемое известной формулой. Таким образом Pτ и Qτ суть два выпуклых подмножества пространства Rn. Оказывается, что дифференциальная игра преследования имеет положительное решение в случае, если

νQτ Ì Pτ 0 < τ < τ0, τ0 > 0, (8)

где ν — некоторое число, большее 1.

Дифференциальная игра убегания имеет положительное решение, если имеет место включение

νPτ Ì Qτ 0 < τ < τ0, τ0 > 0. (9)

Приведённые здесь формулировки моих результатов преднамеренно несколько огрублены: в них опущены некоторые детали. Сделано это для того, чтобы придать им большую обозримость, чтобы их легче было запомнить. В действительности к съезду в Ницце я имел более полную и точную информацию о процессе преследования, чем описанное здесь.

Следует сказать, что результаты по дифференциальным играм дались мне нелегко. Они потребовали от меня восьми лет напряжённой трудной работы. Работа эта сопровождалась бурными эмоциональными переживаниями. Бывали случаи, когда, обнаружив сделанную мною ошибку, я приходил в полное отчаяние. А её исправление приносило мне, конечно, огромное облегчение и радость. Формулировки результатов не были здесь плодом мгновенного наития, а складывались очень медленно, постепенно, по мере проведения работы.

Даже такая, казалось бы, простая вещь, как расщепление процесса преследования на задачу преследования и задачу убегания, не была получена быстро. Она возникла в результате длительных размышлений, причём существенную роль играли те обсуждения, которые я имел за границей после моих докладов с моими слушателями.

Р. Айзекс, который начал заниматься дифференциальными играми раньше меня, формулировал саму задачу несколько иначе. Он исходил из естественного предположения, что управления u и v в данный момент времени t должны зависеть лишь от состояния объекта, состояния игры, т.е. вектора z(t) в данный момент времени t. В такой постановке задача решается гораздо сложней и трудней, чем в моей (так как я допускаю полное использование процесса преследования, до момента времени t, что очень облегчило решение задачи об убегании).