Дионис Бюргер - Сферландия

• Название: Сферландия
• Автор: Дионис Бюргер
• Издательство: Мир
• Жанр: Математика
• Год: 1976

Произведения Э. Эбботта и Д. Бюргера едины по своей тематике. Авторы в увлекательной форме с неизменным юмором вводят читателя в русло важных геометрических идей, таких, как размерность, связность, кривизна, демонстрируя абстрактные объекты в различных «житейских» ситуациях.

---

— Очень хорошо, что ты не спросил об этом Сферу, — ответил я. — Она достаточно умна для того, чтобы наблюдать за тем, что происходит в нашем пространстве и недоступно нашему восприятию. Но достает ли ей ума понять, изогнуто ли ее собственное пространство в направлении, недоступном ее восприятию, мне не известно. И я боюсь, что подобным вопросом мы могли бы поставить Сферу в неловкое положение.

— Я просто не успел спросить у Сферы, она исчезла так неожиданно, — честно признался мой сын, — но мне все равно хотелось бы узнать правильный ответ на свой вопрос.

— Возможно, тебе удастся сделать это позднее. Сейчас нам не следует настраивать Сферу против себя. Мы еще нуждаемся в ее помощи. Очень нуждаемся.

Наша беседа закончилась далеко за полночь, почти под утро. Доктор Пункто отправился к себе домой, а мы разошлись по комнатам и легли спать. Однако прошло немало времени, прежде чем мне удалось заснуть.

24. КРАТЧАЙШИЙ ПУТЬ

На следующее утро я вышел к своим домочадцам довольно поздно, и настроение у меня оставляло желать много лучшего. Зато мой внук был в превосходном расположении духа. Он играл в солдатики—фигурки, имевшие форму равнобедренных треугольников с очень острыми углами при вершине. Командиром отряда был равносторонний треугольник.

Мой внук выстроил своих солдатиков по кругу.

Внук выстроил одиннадцать солдатиков во главе с командиром по кругу, командир подал команду: «Шагом марш!», и все войско начало маршировать. Сначала сдвинулся с места сам командир, за ним первый солдатик, потом — второй и так далее.

Не знаю, что овладело мною — любопытство или желание отвлечься от нескончаемых мыслей о проблемах пространства, по только я спросил у внука, почему его солдатики начинают маршировать не одновременно. Задавая вопрос, я рассчитывал услышать в ответ:.

— Потому, что нельзя передвинуть всех солдатиков сразу.

Каково же было мое изумление, когда внук дал совершенно иной ответ:

— Потому, что солдатики слышат команду не одновременно.

Такой ответ поразил меня. Мальчик полагал, что звук распространяется от источника — командира — по цепочке, от одного солдатика к другому. Подобные физические представления у ребенка его возраста были явлением совершенно необычным, но разве мой внук не происходил из рода математиков и физиков?

Я был очень доволен и хотел, чтобы внук развил свою мысль подробнее. Поэтому я спросил:

— А разве звук распространяется по окружности, вдоль которой выстроены солдатики, а не по прямой — от командира к каждому солдатику?

Малыш озадаченно помолчал — над дедушкиным вопросом стоило задуматься, — по быстро нашелся:

— Нет, звук распространяется вдоль пути, по которому идут солдаты. Внутри окружности ничего нет.

Разумеется, последнюю «гипотезу» мой внук принял лишь потому, что ему так захотелось. Он стремился к тому, чтобы все вокруг было устроено просто. Солдатики выстроены вдоль окружности, маршируют они тоже вдоль окружности. Почему же звук должен распространяться вдоль различных прямых, идущих от командира к солдатикам и проходящим внутри окружности? С точки зрения моего внука, такое предположение было неоправданно сложным.

Затем мои мысли приняли повое направление. В солдатиках, выстроенных по кругу, я вдруг увидел модель Циркульландии с ее королем, окруженным своими подданными. Окружность, на которой обитал король, была его пространством. Звук королевского голоса распространялся вдоль окружности, то есть не по кратчайшему пути, ибо кратчайший путь проходит за пределами Циркульландии! Я снова вспомнил свой сон. Король Циркульландии, естественно, не мог понять меня, ибо не знал иного пространства, кроме своего собственного. И то, что он меня не понял, еще не свидетельствует о его глупости. Просто король не мог представить себе то, что лежит вне его пространства. Для него звук распространялся по кратчайшему пути, который возможен в Циркульландии. В школе нас учили, что кратчайший путь между двумя точками — это прямая, но на практике мы не всегда понимаем под кратчайшим путем прямую.

Неожиданно я вспомнил один эпизод, происшедший со мной в юности. Как-то раз я поздно вернулся домой, и отец устроил мне за это нагоняй. Он спросил, шел ли я домой кратчайшим путем. Разумеется, мой путь был далек от кратчайшего, но признаваться в этом мне не хотелось. Лгать я считал ниже своего достоинства и, пытаясь придумать какую-нибудь отговорку, схитрить, сказал отцу:

— Разумеется, я возвращался домой не кратчайшим путем, потому что идти кратчайшим путем просто невозможно.

— Почему, невозможно? — пожелал узнать мой отец.

— Потому, что кратчайший путь — это прямая, а она проходит через дома и другие препятствия.

Я уже неоднократно упоминал о том, что мы происходим из семьи, известной своими научными традициями, поэтому мой отец мог по достоинству оценить мое замечание.

Сейчас я снова задумался над тем, что же такое кратчайший путь. Предположим, что командир игрушечных солдатиков моего внука приказал своим подчиненным прибыть к нему кратчайшим путем. Как они должны поступить: идти к нему по дуге окружности или по прямой, соединяющей то место, где они находились в момент получения приказа, с тем местом, где находится командир, и проходящей внутри окружности?

Вполне может случиться, что командир только и следит за тем, как бы его подчиненные не нарушили строя и не сошли с окружности. Ему и в голову не придет, что солдат может приблизиться к нему по прямой. Не исключено также, что внутри окружности находится какое-то препятствие, например здание или запретная зона. В этом случае задача командира состоит в том, чтобы его подчиненные направлялись к нему не по пути, кратчайшему с точки зрения геометрии, а по практически наиболее короткому пути, то есть шли вдоль дуги окружности.

Аналогично обстоит дело и в Циркульландии. Король ничего не знает о «территории» внутри окружности. Для него не существует другой возможности, кроме как двигаться в своем собственном пространстве. О том, что возможен более короткий путь, пролегающий за пределами его пространства, король просто не знает. Может быть, до этого мог бы додуматься какой-нибудь особенно проницательный и хитроумный математик из Циркульландии, однако такому гению не удалось бы убедить «собратьев по пространству» в правильности своих выводов. Все, что принадлежит пространству, не может покинуть пределы пространства. Звук также не может выйти за пределы пространства. Следовательно, распространяясь в пространстве, звук должен как бы следовать за кривизной пространства. Странно, очень странно!

Я устал и почувствовал, что больше не в силах размышлять о кратчайших путях и тому подобных вопросах. Незаметно я уснул. Удивительно, но на этот раз мне приснилась не Лайнландия, и я, многомудрый флатландец, не спускался в одномерное пространство, чтобы просветить его обитателей и открыть им истину, известную мне до мельчайших подробностей, поскольку я своим глазом мог созерцать истинное положение вещей, недоступное непосредственному восприятию лайнландца. Нет, мне приснился совсем другой сон. Мне почудилось, будто я — Сфера, гиперокружность из трехмерного пространства, и наношу визит в свой собственный мир, в свою собственную Флатландию. Нет, не Флатландию, а Сферландию, ибо я отчетливо видел, что мир искривлен в направлении, ныне доступном моему созерцанию, направлении, которое ранее мне никогда не доводилось видеть. Теперь я мог рассматривать его сколько угодно, ибо я был Сферой, мудрой Сферой! Ничто в нашем двумерном пространстве не осталось сокрытым от меня. Впрочем, я постиг все без особого труда, ибо был теперь трехмерным существом.

А вот и мой дом! Я смотрел на него сверху, извне нашего пространства, откуда мне никогда не приходилось видеть его. Вон там моя жена. Дети! Внуки! Поистине поразительное зрелище! А вот и я сам, жалкий двумерный шестиугольник. Я всегда считал себя важной, представительной фигурой, но как убого я выгляжу в действительности, плоское двумерное существо.

Интересно, могу ли я приблизиться к самому себе? Могу ли я рассказать самому себе, как выглядит все, если взглянуть на наше пространство извне? Нет! Я бы ни за что не поверил, ибо слишком глуп! Нет, не глуп, а ограничен, ибо способен воспринимать лишь двумерные картины всего, что окружает меня.

Нет, не буду тревожить старого ученого! Ему и так хватает сложных проблем! Пусть спит спокойно! Лучше я рассмотрю как следует двумерный мир, мой собственный мир, мою искривленную Флатландию. Хотелось бы знать, смогу ли я, проснувшись у себя дома, там, внизу, припомнить вес, что мне довелось увидеть? Удивительно! Я вижу иод собой весь город с его домами, улицами, деревьями. Отчетливо различаю движение на улицах. Вижу все рядом, совсем близко. Интересно, как такое может происходить во сне? Ведь мне хороню известно, что я сплю. Какой прекрасный сон! И какой странный!