Владимир Живетин - Методы и средства обеспечения безопасности полета

• Название: Методы и средства обеспечения безопасности полета
• Автор: Владимир Живетин
• Жанр: Математика
• Год: 2010
• ISBN: 978-5-98664-055-6, 978-5-903140-39-8

В данной работе разработан метод расчета систем предупреждения и ограничения критических режимов полета самолета и вертолета. Метод доведен до инженерных методик, программ расчета на ЭВМ с конкретными примерами. Рассмотрены полет на малой высоте, полет по эшелонам и полет в условиях достижения критических параметров траектории полета.

---

Далее рассмотрим два случая: γ=γ(1)=0,05 и γ=γ(2)=0,01. При этом a=0,3; b=b(1) 0,000917; b=(2) 0,001150. Соответствующие значения корней характеристического уравнения (1.18)

λ(1)1 –0,0015; λ(1)2=–0,5985, λ(2)1=–0,6019; λ(2)2=+0,0019.

В первом случае процесс описывается формулой

δe=104(1,0025e–0,0015t  – 0,0025e–0,5985t),

где время t измеряется в сутках. При этом величины δe, следовательно, δn – убывающие и стремятся к нулю при t → ∞. Это означает, что микроавиационная система через некоторое время разорится.

Во втором случае процесс описывается функцией

δe=104(0,9918e–0,6019t+0,0032e0,0019t)

Здесь первое слагаемое величины δe быстро убывает, а второе медленно, но возрастает. Оба слагаемых положительные. Поэтому, хотя вначале величина δe будет убывать, и состояние микроавиационной системы будет ухудшаться, через некоторое время она начнет расширять свою деятельность. Параметры δe и δn будут возрастать.

1.5. Анализ исходной модели

Дополнив соотношения (1.3) дифференциальным уравнением (1.13), получим следующую систему уравнений:

где (1+A)=(1+П*) / τ, δk(t)=δp(t). Отметим, что при заданном значении δk(t) система (1.23), состоящая из двух дифференциальных уравнений, содержит три неизвестные функции: D(t), δn(t), δe(t), являясь, таким образом, незамкнутой. Это означает, что для ее решения, в частности, необходимо задать δe(t). Однако в этом случае исключается возможность проведения всестороннего анализа кредитной политики. Поэтому предлагается пойти по следующему пути.

Система (1.23) включает в себя величину δk(t), т. е. кредитный поток, который может быть реализован по распоряжению руководства микроавиационной системы. При максимальном использовании финансовых ресурсов микроавиационной системы поток δk(t) включает в себя поток возвратного кредита, а также часть прибыли и имеет, таким образом, следующий вид:

δk(t)=δk(t – τ)+γ1Aδk(t – τ),

где Aδk(t – τ) – прибыль в виде процентов по кредиту, отданных при (t – τ), γ1 – коэффициент, характеризующий ту часть прибыли, которая отдана в кредит в момент времени t. Изменяя коэффициент γ1, можно получать различные значения δk(t). При этом γ1 < 1, поскольку расходная часть δe(t) включает в себя и другие компоненты.

Рассмотрим введенные выше коэффициенты γ2, γ3, γ4 и γ5, характеризующие части дохода Aδk(t – τ), направленные на формирование финансовых потоков δзп(t), δн(t), δос(t) и δпр(t) соответственно, где δзп(t) – поток заработной платы; δн(t) – поток налогов; δос(t) – поток расходов на развитие основных средств; δпр(t) – поток средств на прочие расходы.

При этом получим

δk(t)=δk(t – τ)+γ1Aδk(t – τ); δзп(t)=γ2Aδk(t – τ);

δн(t)=γ3Aδk(t – τ);                                              (1.24)

δос(t)=γ4Aδk(t – τ); δпр(t)=γ5Aδk(t – τ).

Обозначим через γ=γ1+γ2+γ3+γ4+γ5. Если вся прибыль направляется в оборот, то γ=1, условие γ < 1 означает, что часть средств отправлена на накопление. В этом случае расходная часть δe в (1.23) должна включать в себя дополнительную компоненту δнакопл=Aδk(t – τ).

Соотношения (1.24) записаны для идеальной ситуации, когда поступившие деньги передаются внешним потребителям без запаздывания. В действительности микроавиационная система, как и любой другой реально функционирующий механизм, исполняет действия с запаздыванием (например, это время, необходимое для обработки документации). Обозначим его через τ0. В общем случае τ0 имеет различные значения при передаче различных составляющих δe различными службами и отделами микроавиационной системы.

Рассмотрим частный случай, когда величина τ0 неизменна для всех подсистем. При этом соотношения (1.24) примут форму

δk(t)=(1+γ1A)δk(t – τ1); δзп(t)=γ2Aδk(t – τ1); δн(t)=γ3Aδk(t – τ1);

δос(t)=γ4Aδk(t – τ1); δпр(t)=γ5Aδk(t – τ1),                         (1.25)

где τ1=τ+τ0. Если при этом выполняется условие γ=1, то неконтролируемых расходов нет. Тогда с учетом полученных зависимостей равенства (1.4) и (1.6) примут вид

δe(t)=γ*Aδk(t – τ,); δn(t)=(1+A)δk(t – τ,),          (1.26)

где γ*=γ1+(1+γ2)+γ3+γ4+γ5 в общем случае не равно двум.

Преобразуем первое уравнение в (1.26). Для этого введем замену s=t – τ1 и разложим δe(s+τ1) в ряд Тейлора. Ограничившись первым членом разложения в силу малости производных более высоких порядков, получим δe(s+τ1)=δe(s)+(s)τ1. Тогда

Положим, что кредит выдан на срок, больший, чем одни сутки, запаздывание τ0 по проведению финансовых операций составляет не менее одних суток в силу выбранной системы отсчета. При этом система (1.23) с учетом (1.27) примет следующий вид:

где a1=–1 / τ, a2=–1 / τ1; τ ≥ 1; τ1 > 1. Система (1.28) содержит три уравнения и три неизвестных: D(t), δe(t) и δn(t), являясь, таким образом, замкнутой. В качестве управления выступает поток кредитных средств δk(t). При заданных начальных условиях D(t0), δe(t0) и δn(t0) система (1.28) имеет решение (τ ≠ 0; τ1 ≠ 0), если она совместна.

Для анализа полученной модели сведем рассматриваемую систему уравнений к одному уравнению третьего порядка

где

Q(t)=B1 – B2 – (B1a2 – B2a1)δk; B1=(1 / τ)(1+A);

B2=(1 / τ)1γ*A; m1=–(a1+a2); m2=a1a2; m3=0.

С учетом того, что m3=0, m1=const, m2=const запишем это уравнение в форме

или

Проинтегрировав (1.29), получим

где =0; =0. Окончательно имеем

где

Устойчивость полной модели

Применим модель (1.30) для анализа финансового состояния микроавиационной системы. Для этого запишем ее в следующем виде: