Сергей Бобров - ВОЛШЕБНЫЙ ДВУРОГ

• Название: ВОЛШЕБНЫЙ ДВУРОГ
• Автор: Сергей Бобров
• Издательство: Детская литература
• Жанр: Математика
• Год: 1967

«В этой книге в занимательной форме рассказывается немало интересного для тех, кто любит точные науки и математику. Читатель узнает о развитии математики с ее древнейших времен, о значении математики в технике, а особенно об одной из важнейших отраслей математики — так называемом математическом анализе. На доступных примерах читатель познакомится с элементами дифференциального и интегрального исчислений. В книге также говорится о неевклидовых геометриях и о той, которая связана с открытиями великого русского геометра П. П. Лобачевского. Читателю предлагается немало занимательных задач, многие из которых сопровождаются подробным разбором.

Для среднего и старшего возраста.»

Некоторые рисунки и значительная часть чертежей нарисованы заново с целю лучшей читаемости на портативных читалках. В силу этого возможны незначительные расхождения с оригиналом, особенно в использованных шрифтах, расположении и размере надписей на рисунках. Расположение некоторых рисунков по отношению к тексту также изменено. В электронной книге для оформления применяются стили, поэтому для чтения лучше использовать CR3. Таблицы приводятся в формате fb2 и дублируются либо в текстовом, либо в графическом варианте. В связи с многочисленными отсылками к номерам страниц сохранена нумерация печатного оригинала. Номер размещен в конце страницы. — V_E.

---

— Какая живучая система! — усмехнулся Радикс.

— Историки считают, — продолжал Коникос, — что изобретение позиционной, или поместной, системы настолько важно было для культурного развития человека, что это можно вполне сравнить с изобретением письменности. Вавилоняне знали теорему Пифагора — и не только для отдельных случаев, по и вообще. На одной вавилонской таблетке дано численное значение корня квадратного из двух, правильное до шестого десятичного знака[22]. Конечно, корень из двух, позволяющий увеличивать данную площадь вдвое, необходим в строительном деле. Но с такой точностью он ни одному столяру или каменотесу совсем не требуется. В деле строительства вполне можно было бы удовлетвориться двумя знаками, а впрочем, можно даже взять расчеты и погрубее.

— 303 —

— А помнишь ли ты, — спросил Радикс мальчика, — как с помощью корня из двух удваивается данная площадь?

— Еще бы! Если дан квадрат, а сторона равна единице, то диагональ по теореме Пифагора будет равна корню из двух. Вот и удвоение площади! Умножил сторону на этот корень и получил сторону квадрата с двойной площадью.

— Хорошо! Знаешь твердо. Учись, не отставай, и все будет в порядке. А мы всегда к твоим услугам.

Площадь квадрата, построенного на диагонали другого, вдвое больше площади последнего.

— Вот что еще мы можем рассказать тебе о Древнем Востоке, — добавил Коникос. — Примерно в начале первого тысячелетия нашей эры вокруг Средиземного моря происходят огромные перемены. К морским берегам из глубины континентов приходят новые люди. Бронзовые мечи и топоры заменяются железными, гораздо более удобными и дешевыми. Несколько столетий подряд на берегах Средиземного моря и его островах бушуют непрерывные битвы. Падает под ударами врага мощное Критское царство, которое было тоже центром культуры бронзового века. Впрочем, теперь археологи склоняются к мысли, что Критская островная культура могла погибнуть почтя внезапно из-за грандиозного извержения вулкана неподалеку, страшного землетрясения и всеразрушающих морских волн, которые называются цунами (они достигают огромной высоты и все уничтожают на своем пути, неожиданно обрушиваясь на сушу, а потом с той же силой стекая обратно в море). А затем под натиском «людей с моря» слабеет Египет. В Греции начинается новая культура, появляются мореплаватели, купцы, градостроители — люди, пользующиеся большой свободой по сравнению с вавилонянами и египтянами. Греческий город, а не дворец деспота становится хозяином нового мира. Восток пробует подчинить новую культуру — персидские полчища идут на греков и терпят неудачу. И вот в этом мире, где наука освободилась от религии, расцветает

— 304 —

новая мысль, жадно впитывающая все, что было создано на Востоке, и перерабатывающая все это древнейшее наследие.

Однако все же на территории Вавилона, несмотря на смены народов, научные труды и интересы сохраняются еще долгое время. Греческая культура была основана на труде рабов, которых приводили в страну в качестве военнопленных греческие воины. Тем не менее эта новая цивилизация создала нового любознательного человека, которого интересовали многие вопросы, особенно астрономия, а за ней математика, которая развивалась рядом с учением о правильном размышлении — логикой.

— Ну, разбираешься ли ты в том, что слышишь? — спросил Радикс.

— Кажется, разбираюсь. А если я в чем-нибудь запутаюсь, я потом спрошу тебя.

— Надо помнить, что новый мир Древней Греции, — взял слово Радикс, — породил людей, которые благодаря своему приволью и богатству занимались наукой не только по необходимости хозяйственной, а независимо от этого, ради желания проникнуть в суть научного рассуждения, в существо решения трудных задач. А затем греческие ученые постепенно стали переходить и к новым задачам, которых древневосточный мир либо не ставил, либо не придавал им особого значения.

— Вот мы вспоминали об удвоении площади, — добавил Коникос, — тут нужен корень из двух. В этом случае всего проще взять самое грубое приближение, то есть дробь 7/5, которая иначе 1,4, то есть корень из двух с точностью до первого десятичного знака. Если 7/5 возвести в квадрат, получается 49/25, или 1,96, то есть двойка с ошибкой на четыре сотых. Для плотника это отлично. Но греки на этом не хотели останавливаться и стали изучать теорему Пифагора (которую прекрасно знали и на Востоке) и вскоре открыли, что вся трудность не в вычислении, а в том, что корень из двух совсем необычное число, которое очень легко построить геометрически…

— А как его построить? — еще раз спросил Радикс, обращаясь к Илюше.

— Так это будет диагональ единичного квадрата, о котором мы только что говорили! — не задумываясь воскликнул Илья и посмотрел на Радикса.

— Молодец! — похвалил Асимптотос. — Признаться, не ожидал от тебя такой прыти!

— … очень легко построить, — продолжал Коникос, — но невозможно точно вычислить. Вот тогда открыли иррацио-

— 305 —

нальные числа, а затем придумали особенное построение, при помощи которого эту величину можно вычислить с любой степенью точности[23]. Одно открытие привело к другому.

— Значит, это было замечательное открытие!

— Конечно! Наука стала объяснять законы счета, проникать во все своеобразие этих законов. Халдей говорил: «Делай так, потому что иначе ничего не выйдет!» А грек говорил:

«Рассудок учит, что, делая вот так, ты следуешь законам мира чисел, а поступая иначе, ты эти законы безрассудно нарушаешь, поэтому-то ты в последнем случае и расплачиваешься ошибкой!»

— Но ведь халдей даже не знал об этих законах? — спросил Илюша.

— Действительно, не знал, вернее, не догадывался. Да ведь и греки не сразу догадались…

— Но зачем же древневосточным ученым нужен был корень квадратный из двух с такой точностью, которая на практике была им не нужна? — спросил Илюша.

— Прямо ответить на этот вопрос невозможно, — сказал Коникос, — но уж раз мы знаем, что такие весьма точные вычисления существовали, мы убеждаемся в том, что либо это делалось просто из научной любознательности, либо это были упражнения для учеников. Но и в том и другом случае это все-таки очень похоже на то, что мы теперь называем наукой. Возможно, что некоторые вопросы, вроде теории квадратного уравнения, изучались преимущественно на числовых решениях. Может быть, это не самый лучший способ анализа, но и он давал некоторые результаты. Квадратное уравнение вавилоняне решали просто: находили два числа по их сумме и произведению… Что ты на это скажешь?

— На основании формул Виета как раз выходит квадратное уравнение:

х2 + рх + q = 0.

Сумма его корней равна р с обратным знаком, а их произведение = q.

— Вавилонянин решал задачу так: либо эти искомые величины (корни) равны между собой, либо нет. Если нет, то между ними есть некая разность z. Тогда можно написать, что

x1 = -p/2 + z; x2 = — p/2 — z, где z = 1/2(x1 — x2).

— 306 —

Затем во второе уравнение x1 · x2 = q подставляем эти значения корней и приходим к известной формуле квадратного уравнения, что нетрудно проверить.

AB = a; BD = 2a; CB = a√2

Илюша немного повозился с расчетами, выяснил, что получается, а затем сказал:

— Но ведь ученый халдеи не знал формул Виета?

— Формул, конечно, он не знал, но самый факт определенных взаимоотношений между исходными данными такой задачи и ее решением не мог быть для него тайной, потому что тогда он не сумел бы так решить задачу. Формулировать это еще не умели и не понимали, может быть, сколь это полезно, но факт был известен. Догадываешься, в чем тут разница?

— Как будто… то есть, как вы говорите, не знали, почему?

— Вот именно, — подтвердил Радикс. — Удвоить квадрат оказалось довольно просто, а основное правило решения выясняется при помощи теоремы Пифагора. Если сторона квадрата равна а, то мы узнаем х из пропорции:

Ты, наверно, помнишь, как геометрически производится построение средней пропорциональной?

— Конечно! — отвечал мальчик. — Это мы по геометрии проходили. Откладываешь на прямой отрезки, равные а и 2а, и на их сумме, то есть на 3а, строишь полуокружность, радиус которой равен 1,5а. А теперь, если АВ будет отрезок а и 2а отрезок BD, то из точки В ты восстанавливаешь перпендикуляр до пересечения с окружностью — это и будет искомая средняя пропорциональная. Доказать, что это так, нетрудно. Теорема Пифагора все тут объясняет.