Joaquin Sandalinas - До предела чисел. Эйлер. Математический анализ.

• Название: До предела чисел. Эйлер. Математический анализ.
• Автор: Joaquin Sandalinas
• Жанр: Физика

Леонард Эйлер, без всякого сомнения, был самым выдающимся математиком эпохи Просвещения и одним из самых великих ученых в истории этой науки. Хотя в первую очередь его имя неразрывно связано с математическим анализом (рядами, пределами и дифференциальным исчислением), его титаническая научная работа этим не ограничивалась. Он сделал фундаментальные открытия в геометрии и теории чисел, создал с нуля новую область исследований — теорию графов, опубликовал бесчисленные работы по самым разным вопросам: гидродинамике, механике, астрономии, оптике и кораблестроению. Также Эйлер обновил и установил систему математических обозначений, которые очень близки к современным. Он обладал обширными знаниями в любой области науки; его невероятный ум оставил нам в наследство непревзойденные труды, написанные в годы работы в лучших академиях XVIII века: Петербургской и Берлинской.

---

В последние годы своего пребывания в России Эйлер выполнял множество обязанностей в Академии. Он занимался вопросами садоводства, инженерным делом, работал над собственными книгами и руководил написанием других. Ученый входил в Комиссию мер и весов, сам вызвался аннотировать манускрипты о квадратуре круга, приходившие в академию, и закупать карандаши и бумагу. Самым трудоемким его занятием была ревизия русской картографии, которой, однако, Эйлер восхищался.

Разносторонняя и обширная профессиональная деятельность не мешала Эйлеру обращать внимание на деликатную политическую ситуацию в стране. В 1739 году закончилась русско-турецкая война, и местная знать была недовольна слишком большим количеством немцев на самых высоких государственных и административных постах. Когда в 1740 году на престол взошла Елизавета, дочь Петра I, Эйлер, испугавшись жестоких гонений на элиту немецкого происхождения и на всех иностранцев вообще, принял предложение о работе в Прусской академии наук и уехал в Берлин.

ГЛАВА 3 Берлин, столица анализа

Эйлер откликнулся на призыв Фридриха II, просвещенного правителя Пруссии, уже будучи известным ученым. В этот период он занялся новыми для себя дисциплинами, такими как геометрия, механика жидкостей и инженерное дело. При этом он никогда не оставлял анализ и посвятил ему ставшую бессмертной трилогию, а также работу по основополагающему вопросу — вариационному исчислению.

"Госпожа, я приехал из страны, где кто разговаривает, того вешают", — ответил Эйлер Софии Доротее, королеве-матери короля Пруссии, когда та добродушно упрекнула его в том, что он почти не участвует в придворных беседах. В 1741 году Эйлер вернулся в тепло старой доброй Европы, в Берлин. Этот город был сердцем просвещенного мира, а также центром распространения западной культуры, столицей Прусского королевства, где правил самый либеральный среди королей Европы Фридрих Великий (1712-1786). Здесь Эйлер оказался в обществе великих деятелей науки и искусства, таких как Франсуа-Мари Аруэ (1694-1778), более известный как Вольтер, музыкант Иоганн Иоахим Кванц (1697-1773), философ Иммануил Кант (1724-1804) и разносторонний Иоганн Вольфганг Гёте (1749-1832). Когда Эйлер приехал в город, Фридрих II был занят сражениями за господство над Силезией, и ученому пришлось жить, занимая в долг у знакомых, до самого возвращения короля в 1746 году. Эйлер купил участок земли с домом, разбил огород, посадил картофель и другие овощи и занялся научной работой как сотрудник общества Societas Regia Scientiarum. Оно было основано в 1700 году Фридрихом I по инициативе Лейбница. В годы правления Фридриха Вильгельма I общество переживало упадок, поскольку король не питал к интеллектуальной деятельности такого интереса, как его предшественник: его не волновало ничего, что не приносило моментальную политическую или военную выгоду. К счастью для общества, после окончания боев в Силезии Фридрих II вернул ему былую славу. К моменту возвращения короля Эйлер уже написал множество статей и несколько книг. Президентом Академии в то время был Пьер Луи Моро де Мо- пертюи, а Эйлер возглавлял математический отдел, но также занимался финансами, астрономией, инженерным делом и ботаникой. Вот что пишет историк Адольф Юшкевич:

"В Берлине он руководил постройкой обсерватории и наблюдал за посадками в ботаническом саду, занимался подбором сотрудников, контролировал различные финансовые вопросы, издавал серии ежегодных календарей, служивших одним из источников дохода Академии. Король также доверил Эйлеру практические вопросы: например, консультацию по проекту изменения уровня воды в канале Финов в 1749 году [...]. В этот период он также руководил работами по установке насосов и водопровода в Сан- Суси, летней резиденции короля".

Однако государь остался недоволен работой ученого, о чем свидетельствует отрывок из его письма Вольтеру:

"Я хотел установить гидравлический насос в своем саду: Эйлер подсчитал, какую необходимую силу должны иметь лопасти, чтобы донести воду до цистерны, откуда потом она бы попала в систему канализаций и орошала территорию дворца Сан-Суси. Мельница была построена в соответствии с геометрическими выкладками, но не могла поднять к цистерне объем воды больше, чем на пять шагов. О, суета сует! О, тщетность геометрии!"

В 1747 году Эйлера выбрали членом Лондонского королевского общества; в 1748-м он снова выиграл Grand Prix Парижской академии наук с задачей о трех телах, которой затем воспользовался Алекси Клод Клеро (1713-1765) в своей работе в этой области. В 1758 году Эйлер был назначен академиком Парижской академии, так что у него были все возможные почетные титулы. Слава ученого была так велика, что, когда русские войска в 1760 году вторглись в Германию и причинили серьезные разрушения его дому в Шарлоттенбурге, то русский генерал Готтлоб Курт Генрих фон Тотлебен поспешил возместить Эйлеру ущерб и извинился со словами: "Я не воюю против науки". Императрица Елизавета также отправила ученому 4000 крон в качестве компенсации.

Около 1750 года возник знаменитый спор об авторстве принципа наименьшего действия: Кениг приписывал его Лейбницу, а Мопертюи — себе. Считается, что Эйлер открыл его независимо от остальных, но не опубликовал, чтобы не поставить Мопертюи, формально бывшего его начальником, в неловкое положение. Вольтер встал на сторону Кенига и в 1752 году написал иронический рассказ "Диатриба доктора Акакия, папского лекаря", в котором высмеивал Мопертюи. Фридрих положил конец этой полемике, изгнав Вольтера из государства. Мопертюи, глубоко переживавший все эти события, также уехал из Берлина.

Академия осталась в руках Эйлера, который, тем не менее, не был назначен ее президентом. Сначала король предложил это место Жан Батисту Лерону Д’Аламберу, обладавшему бесспорным авторитетом, но с которым Эйлер был не в лучших отношениях. Он не хотел опять оказаться под начальством француза и высказал опасение, что Берлинская академия превращается в копию Парижской. Действительно, король назначал ее членами многих французов, особенно философов. Но Д’Аламбер, пообщавшись в ходе собеседований со смирившимся Эйлером, был поражен: этот мрачный ученый обладал невероятной памятью, разбирался во всех областях науки и был гением математики. Невозможно было понять, почему такой талант не продвигают по службе. Д’Аламбер с чрезвычайной любезностью отказался от места президента Академии и предложил назначить на него Эйлера — эрудита, известного во всем мире, у которого, к тому же, уже был здесь дом. Но, как мы уже говорили, в число личных качеств Эйлера не входила способность вести остроумные беседы и рассуждать об искусстве, литературе или философии, а также умение вести себя при дворе, что очень ценил Фридрих II. Можно сказать, что король придавал большее значение этому, а не научным знаниям своего "математического Циклопа", как называл Фридрих ученого в письмах Вольтеру. Поэтому правитель не последовал совету Д’Аламбера и сам занял должность президента, что, видимо, не пришлось Эйлеру по вкусу. С этого момента их отношения стали довольно напряженными, и Эйлер, получавший крайне привлекательные предложения из России, решил опять уехать. Однако Фридрих не отпустил его так просто (в те времена нельзя было сразу перестать служить монарху): он находил все новые причины, чтобы задержать ученого. В конце концов Эйлер все же получил разрешение на отъезд.

ФОРМУЛА ДЛЯ МНОГОГРАННИКОВ

Из всех работ Эйлера, написанных в Берлине, одну с трудом можно приписать к какой-либо области математики того времени. В конце предыдущей главы мы очертили принципы новой области математики — теории графов (начало ей положил сам Эйлер в решении задачи о мостах Кенигсберга) — и более обширной области, частью которой она является, — топологии. Сначала в частных письмах разным адресатам, отправленных между 1750 и 1751 годами, а потом и открыто в статье 1758 года Эйлер вернулся к топологии с невероятным результатом: формулой для выпуклых многогранников с С гранями, А ребрами и V вершинами:

C - A + V = 2.

В начале 2000-х годов читатели авторитетного журнала Mathematical Intelligencer голосовали за самую красивую математическую формулу в истории. Эта формула для полиэдров заняла второе место, а первое — формула, также связанная с Эйлером: еxi + 1 = 0.

Сегодня мы бы сказали, что выражение С - А + V является топологическим инвариантом, то есть характеристикой поверхности, не меняющейся несмотря на трансформации, которым она подвергается, в частности происходящими в результате деформации, не разрушающей ее. Поверхность, для которой формула Эйлера является топологическим инвариантом, — это сфера, а следовательно, и любой гомеоморфный ей трехмерный полиэдр, то есть все тела, полученные в результате деформации сферы.