Франсиско Мартин Касальдеррей - Мир математики. Том 16. Обман чувств. Наука о перспективе

• Название: Мир математики. Том 16. Обман чувств. Наука о перспективе
• Автор: Франсиско Мартин Касальдеррей
• Издательство: «Де Агостини»
• Жанр: Математика
• Год: 2014
• ISBN: 978-5-9774-0711-3

Физика, астрономия, экономика и другие точные науки основаны на математике — это понятно всем. Но взаимосвязь математики и творчества не столь очевидна. А ведь она куда глубже и обширнее, чем думают многие из нас. Математика и творчество развивались параллельно друг другу на протяжении веков. (Например, открытие математической перспективы в эпоху Возрождения привело к перевороту в живописи.) Эта книга поможет читателю посмотреть на некоторые шедевры живописи и архитектуры «математическим взглядом» и попробовать понять замысел их создателей.

---

Изображением любой произвольной точки D на картинной плоскости будет точка D' — точка пересечения плоскости π и линии, проведенной из точки зрения О в точку D.

Перспектива по Альберти

Метод Леона Баттисты Альберти не слишком отличался от метода Брунеллески. Альберти изложил (довольно туманно) свой метод в трактате «О живописи»: «Сначала там, где я должен сделать рисунок, я черчу четырехугольник с прямыми углами такого размера, какого мне захочется, и принимаю его за открытое окно, откуда я разглядываю то, что на нем будет написано, и здесь же я определяю рост человека, нужный мне для моей картины, и делю рост этого человека на три части, каждую из которых я для себя принимаю пропорциональной той мере, которая называется локтем».

Флорентийский локоть (braccio) — традиционная мера длины, равная 58,4 см. Таким образом, для Альберти средний рост человека равнялся 175 см.

«Этими локтями я делю нижнюю лежащую линию четырехугольника на столько частей, сколько он их вмещает. Затем внутри этого четырехугольника, там, где мне вздумается, я устанавливаю точку, которая занимала бы то место, куда ударяет центральный луч, и поэтому я называю эту точку центральной. Хорошо будет поместить эту точку над нижней лежащей линией четырехугольника не выше роста того человека, которого мне предстоит написать, ибо таким образом как зритель, так и видимые написанные вещи кажутся находящимися на одном уровне. Итак, поместив центральную точку, как я сказал, я провожу из нее прямые линии к каждому делению на лежащей внизу линии четырехугольника. Эти проведенные линии показывают мне, каким образом изменяется каждое поперечное протяжение, как бы уходя в бесконечность».

Четырехугольник Альберти.

(источник: FMC)

Схема, которую описывает Альберти, выглядит так, как показано на следующем рисунке.

Схема перспективы по Альберти.

(источник: FMC)

Картинная плоскость π', на которой расположено «окно», не совпадает с плоскостью π, а параллельна ей. Поэтому предметы на картине по размеру не совпадают с реальными, а изображены в определенном масштабе. Масштаб художник выбирает тогда, когда определяет, какой размер будет иметь изображение человека на картине. Когда воображаемая пирамида с вершиной в точке зрения О и основанием ABCD пересекает картинную плоскость, образуется трапеция A'B'C'D'. Проекцией точки О на картинную плоскость будет точка О', так называемый центр перспективы. Для изображения поперечных линий в перспективе Альберти предлагает следующий метод:

«Я беру маленькую площадь, провожу на ней прямую линию и делю ее на части, подобные тем, на которые разделена лежащая нижняя линия четырехугольника. Затем наверху я ставлю точку, на той же высоте от этой линии, на которой я помещал в четырехугольнике центральную точку над его нижней линией, и из этой точки я провожу линии к каждому делению, обозначенному на первой линии. Затем я произвольно устанавливаю расстояние глаза от картины и провожу, как говорят математики, перпендикулярную линию, пересекающую любую встречную линию. <…> Эта перпендикулярная линия при пересечении с другими линиями дает мне, таким образом, последовательность всех поперечных протяжений. И таким образом у меня в картине оказываются обозначенными все параллели, то есть квадратные локти пола».

Построения, описанные Альберти, можно представить на следующем рисунке:

Вспомогательный рисунок для метода Альберти.

(источник: FMC)

Проведем отрезок A'D' и разделим его на столько же частей, что и основание четырехугольника. Выберем точку Р, куда мы хотим поместить наблюдателя, и обозначим точку О на перпендикуляре, опущенном в точку Р. Расстояние ОР равно расстоянию между центром перспективы и основанием четырехугольника. Точки пересечения линии А'Н и лучей зрения, соединяющих точку О с отметками на отрезке A'D', определят, где будут проходить поперечные линии:

Чтобы изобразить квадраты, на которые разделен пол, достаточно перенести эти точки на картину, как показано на рисунке выше. Альберти в качестве доказательства правильности своего метода предлагает провести диагональ одного из квадратов и убедиться, что ее продолжение совпадет с диагоналями соседних квадратов.

* * *

АЛЬБЕРТИ. РАЗНОСТОРОННИЙ ГУМАНИСТ

Возможно, Леон Баттиста Альберти (1404–1472) вместе с Леонардо да Винчи является одним из ярчайших разносторонних художников Возрождения. Он был архитектором, математиком, гуманистом и поэтом, а также занимался криптографией, лингвистикой, философией, музыкой и археологией. Он принадлежал к богатому семейству флорентийских торговцев и банкиров, нашедших убежище в Генуе. Он учился в Венеции, затем в Падуе, после чего перешел в Болонский университет, где начал изучать право. Там же он обучился музыке, живописи, скульптуре, математике, философии и греческому языку. Он был очень плодовитым писателем и создал множество работ как на латыни, так и на тосканском языке, ярым защитником которого он являлся. Он был другом Донателло и Брунеллески, которому посвятил свою книгу «О живописи». Во Флоренции он работал архитектором и преимущественно выполнял заказы торговца и гуманиста Ручеллаи, который, помимо прочего, в 1446 году повелел ему завершить работы над фасадом церкви Санта-Мария-Новелла, прекращенные в 1365 году, когда были построены аркады первого уровня. Альберти также спроектировал палаццо Ручеллаи и часовню Гроба Господня флорентийской церкви Святого Панкратия. В 1450 году он спроектировал храм Малатесты в Римини, а также церковь Сан-Себастьяно в Мантуе.

Альберти — автор нескольких важных трактатов. Он считал, что архитектор выполняет скорее математическую функцию: он создает, придает пропорции. Работу прораба выполняют его ученики, которые решают задачи на месте, архитектор же — тот, кто изобретает. Помимо трактата «О живописи», созданного во Флоренции в 1436 году, в 1452 году в Риме он написал «Десять книг о зодчестве» — трактат об архитектуре, сформировавший основы зодчества эпохи Возрождения. Чтобы объяснить, почему мы считаем что-то красивым, Альберти вводит в этой книге термин concinnitas, который мы переведем как «точная пропорция», то есть отсутствие излишков и недостатков.

Леон Баттиста Альберти. Портрет кисти Мазаччо. Капелла Бранкаччи, Флоренция.

(источник: FMC)

* * *

Метод перспективы Пьеро делла Франческа

Пьеро делла Франческа использовал метод Альберти в своей книге «О перспективе в живописи», упростив его. Вместо вспомогательного рисунка, как советует Альберти, он объединяет построение продольных и поперечных линий на одном рисунке, как показано ниже:

Схема перспективы по Пьеро делла Франческа.

(источник: FMC)

Этот метод, несомненно, упростил работу художника, однако по сути ничем не отличался от метода Альберти, теоретические основы которого, в свою очередь, сформулировал Брунеллески. Пьеро делла Франческа изображает в перспективе квадрат ABCD, сторона АВ которого совпадает с нижней границей картины. Он обозначает точку зрения О', в которой сходятся стороны квадрата, перпендикулярные картинной плоскости. Далее он определяет на картинной плоскости поперечную прямую C'D', параллельную АВ. Вид спереди и вид сбоку накладываются. Так, линия АН является не только стороной картины, но также изображением самой картины в профиль. Точка О обозначает глаз наблюдателя, который находится на расстоянии d от картинной плоскости АН. Он проводит линию из точки О в точку В, и пересечение этой линии с прямой АН определяет положение поперечной линии C'D' относительно АВ.

Кроме того, он указывает способы представления различных плоских фигур в перспективе. Для этого он вписывает эти фигуры в квадрат и использует так называемый метод точек схода. Попробуем вкратце объяснить этот метод.

Диагонали квадратов, на которые разделен пол, сходятся в так называемой точке схода — точке Q.