Микель Альберти - Мир математики. т 40. Математическая планета. Путешествие вокруг света

• Название: Мир математики. т 40. Математическая планета. Путешествие вокруг света
• Автор: Микель Альберти
• Издательство: «Де Агостини»
• Жанр: Математика
• Год: 2014
• ISBN: 978-5-9774-0735-9

В этой книге пойдет речь об этноматематике, то есть об особенностях методов счисления, присущих разным народам. Хотя история современной математики — часть европейского культурного наследия, опирается она на неакадемические пласты, существовавшие задолго до возникновения современной культуры. Этноматематика охватывает весь перечень математических инструментов, созданных разными народами для решения определенных задач. Конечно, она далека от знакомой нам академической науки и, скорее, опирается на практический опыт, а потому вдвойне интересна. Эта книга — способ совершить математическое путешествие вокруг света и узнать много нового о культурах разных народов.

---

Хотя задачи сайгаку решаются по большей части евклидовыми методами, сами эти таблички как разновидность неакадемической математической деятельности, связанная с культурной традицией, подтверждают важность культурного контекста, в котором сплавляются воедино математика и творчество. При этом сама творческая деятельность, то есть формулировка задач и поиск решений, носит ярко выраженный этноматематический характер.

Таблички у входа в храм Хида Кокубундзи в Такаяме.

Чаще всего в сайгаку речь идет о вписанных геометрических фигурах. К примеру, требуется определить отношение радиусов трех окружностей, касающихся друг друга и вписанных в еще одну, большую окружность; определить размеры квадратов, вписанных в равносторонний треугольник; вписать ряд окружностей в эллипс или ряд сфер в большую сферу.

В 1781 году Фудзита Садасуке написал книгу «Математика в деталях» и помог своему сыну Каджену подготовить первую книгу, посвященную сайгаку. Она получила название «Священная математика» и была опубликована в 1789 году. В книге Фудзиты Садасуке приведен простой вариант задачи, где нужно найти расстояние между двумя точками, в которых окружности, касающиеся друг друга, касаются прямой.

Обозначив радиусы окружностей через R и r, искомое расстояние — через d и применив теорему Пифагора, имеем:

(R — r)2 + d2 = (R + r)2 => d = √(R·r)

Интерес вызывает не задача сама по себе, а ее связь с пифагоровыми тройками.

Тройка целых чисел называется пифагоровой, если эти числа удовлетворяют теореме Пифагора, то есть квадрат одного из них равен сумме квадратов двух других. К примеру, пифагоровыми являются тройки (3, 4, 3), (6, 8, 10), (5, 12, 13) и (119, 120, 169). Пифагорова тройка называется примитивной, если два меньших числа в ней взаимно простые. Примитивными являются тройки (3, 4, 3), (5, 12, 13) и (119, 120, 169), но не (6, 8, 10), так как 6 и 8 — четные числа.

В еще одной задаче из книги Садасуке требуется доказать, что тройка чисел (а, b, с) пифагорова, если p и q одновременно не являются нечетными и удовлетворяют следующим соотношениям:

а = 2pq

b = p2 — q2

c = p2 + q2.

Значение а очень похоже на ответ к предыдущей геометрической задаче. Чтобы значение а было ответом к предыдущей задаче, необходимо, чтобы квадратные корни радиусов R и r были целыми числами. Допустим, что это в самом деле так: R = р2, r = q2. Предположим, что разность R — r равна другому целому числу, s.

Тогда следующая тройка чисел будет примитивной пифагоровой тройкой:

2pq = d

р2 — q2 = R — r

p2 + q2 = R + r.

Таким образом, алгебраическая задача о пифагоровых тройках эквивалентна геометрической. По всей видимости, таков традиционный японский метод определения примитивных пифагоровых троек. Наконец, еще в одной задаче требуется найти все примитивные пифагоровы тройки для радиуса r <= 41. Решения этой задачи таковы:

(3, 4, 5), (5, 12, 13), (8, 15, 17), (7, 24, 25), (12, 35, 37), (20, 21, 29), (9, 40, 41).

Если мы построим между двумя описанными выше окружностями еще одну, то получим интересную задачу — она приводится в сайгаку 1873 года, подвешенной на алтаре Катаямахико в префектуре Окаяма. Каким отношением связаны радиусы трех окружностей, касающихся друг друга и прямой, на которую они опираются?

И вновь к решению нас приведет теорема Пифагора. Пусть радиусы окружностей удовлетворяют соотношению r1 > r2 > r3 которое мы узнаем, применив теорему Пифагора. Для этого выделим треугольник, образованный вершинами окружностей и радиусами, которые проведены к общей касательной к окружностям.

Мы получим новые прямоугольные треугольники, в которых можно применить теорему Пифагора. Обозначив через d1 и d2 основания прямоугольных треугольников с гипотенузами r1 + r3 и r2 + r3 получим:

(r1+ r2)2 = (r1 — r2)2 + (d1 + d2)2

(r1+ r3)2 = (r1 — r3)2 + d12

(r2 + r3)2 = d22 + (r2 — r3)2

Выразив d1 и d2 из второго и третьего равенства и подставив полученные выражения в первое равенство, имеем:

Полученное соотношение является двойственным к теореме Пифагора, что можно заметить, записав квадратные корни как степени с дробным показателем:

Как найти значения трех радиусов, удовлетворяющих этому соотношению?

Имеет ли задача тройки целых или рациональных решений? Если мы рассмотрим числа, обратные квадратам натуральных чисел, то получим окружности, обладающие следующими свойствами:

Они будут иметь вид, представленный на рисунке.

Божественные розы

Соприкасающиеся окружности стали источником вдохновения не только для средневековых японских монахов и самураев, но и для архитекторов европейских готических соборов. Эта композиция, в которой главная роль отведена кругу, представляет собой символ христианства той эпохи. Важнейший элемент художественной выразительности в готике — роза и различные решетки. Их узоры представляют собой огромный круг диаметром несколько метров, в который вписаны другие круги и ряды окружностей. В большинстве случаев все эти фигуры соприкасаются между собой, а также касаются большого круга. Роза в церкви Санта-Мария-дель-Пи в Барселоне составлена из кругов, куда вписаны четыре соприкасающихся круга, которые также касаются круга, описанного вокруг них.

Фрагмент розы в церкви Санта-Мария-дель-Пи в Барселоне.

Все элементы этих геометрических роз имеют свое символическое значение. Оригинальные рисунки и витражи соборов на протяжении веков не раз реставрировались, и лучше всего дух оригинала удалось сохранить в Шартрском соборе и соборе Парижской Богоматери. Женское начало традиционно связывается с ночью, Луной, прошлым и оттенками синего цвета. В Шартрском соборе женское начало представлено в розе на северном фасаде, в центре которой изображена дева Мария. Мужское начало, напротив, связывается с южной стороной, Солнцем, настоящим, желтым и красным оттенками. Именно поэтому изображение Христа в Царствии Небесном расположено в центре розы на южном фасаде собора.

Геометрия также составляет основу символических изображений персонажей.

Подобие форм или пропорции указывают на связи между деталями изображений, в которых каждый элемент играет свою роль. Не случайно и то, что розы делятся на 6, 8, 12, 16 или 24 круговых сектора или же представляют собой последовательность концентрических окружностей.

В испанском городе Сабадель в провинции Барселона есть мастерская, которая занимается исключительно витражами в свинце. Сначала мастера выполняют рисунок на бумаге в масштабе 1:10, а затем изготавливают витраж в натуральную величину. Раньше переход от чертежей к витражам выполнялся на глаз и при помощи пантографа, но сегодня в этом процессе используются новые технологии. Проектор позволяет воспроизвести выполненные на бумаге непрозрачные фигуры в натуральную величину на другой плоской поверхности.

Чтобы придать витражам желаемую форму, между соседними стеклами нужно оставлять зазор в 1,2 мм. Вместо того чтобы проводить линию с нужным зазором параллельно контурам фигуры, мастера используют ножницы с тройным лезвием, и необходимый зазор получается автоматически.

Ножницы с тройным лезвием обеспечивают нужный зазор постоянной ширины в 1,2 мм.

Два элемента рисунка соединяются с нужным зазором в 1,2 мм.

Перенос кривых также осуществляется автоматически с помощью гибкого лекала — резиновой полоски с металлическим сердечником, сохраняющей придаваемую ей форму. Гибкое лекало позволяет легко преобразовать дуги окружностей объемных фигур в отрезки той же длины на плоскости.