Сергей Бобров - ВОЛШЕБНЫЙ ДВУРОГ

• Название: ВОЛШЕБНЫЙ ДВУРОГ
• Автор: Сергей Бобров
• Издательство: Детская литература
• Жанр: Математика
• Год: 1967

В этой книге в занимательной форме рассказывается немало интересного для тех, кто любит точные науки и математику. Читатель узнает о развитии математики с ее древнейших времен, о значении математики в технике, а особенно об одной из важнейших отраслей математики - так называемом математическом анализе. На доступных примерах читатель познакомится с элементами дифференциального и интегрального исчислений. В книге также говорится о неевклидовых геометриях и о той, которая связана с открытиями великого русского геометра П. П. Лобачевского. Читателю предлагается немало занимательных задач, многие из которых сопровождаются подробным разбором.

-

Для среднего и старшего возраста.

---

- 295 -

В треугольнике ABC углы А и В близки к 60 градусам, а угол С очень мал, поэтому сумма углов этого треугольника немногим больше 120 градусов.

Асимптотос притащил откуда-то лампочку очень странной и красивой формы, немножко похожую на чайник, в носик которого был вставлен фитиль. Лампа горела не очень ярко, но все-таки светила. В ней было налито нечто вроде оливкового масла. Говорят, будто это была та самая лампа, из-за которой начались несчастья бедной Душеньки в той самой поэме Богдановича, которую так любил юный Пушкин, потому что Aпyлей (сочинивший книгу "Золотой осел", где изложена история Душеньки) ему нравился гораздо больше рассудительного Цицерона[20]. Масло для этой лампы Коникос зачерпнул из фонтана. Затем Коникос сделал какой-то странный жест, и в светлице стемнело. Только и было света, что от масляной лампы.

Асимптотос поставил ее на стол и вырезал круглый кусочек плоскости.

- Смотри теперь на тень этого кружка. Если я поставлю мой диск вертикально параллельно стене на одном уровне с источником света, то и тень на стене получится...

- Круглая, - отвечал Илюша.

- Справедливо. Теперь смотри, что будет с тенью, если я буду поворачивать кружок вокруг его вертикального диаметра. Если я поверну кружок на некоторый угол так, чтобы диск у меня стоял наклонно к плоскости стены, то тень будет...

- 296 -

- Эллипсом! -отвечал Илюша.

- А теперь, - продолжал Коникос, - смотри, какие тени будут получаться от кружка на столе. Если я опущу диск ниже пламени, то на столе получится... На-ка, возьми диск, попробуй сам!

Илюша взял диск, опустил его немного ниже пламени лампы и получил две тени: эллиптическую и круговую, которые он уже видел на стене.

- Теперь, - сказал Асимптотос, - слушай мою команду! Поставь диск вертикально так, чтобы самая высокая его точка находилась на уровне пламени.

Илюша поставил. Тень от кружка стала с одной стороны овальной, а с другой - уходила прямо по столу, и казалось, что две стороны тени уходят вдаль, стремясь сделаться все более и более параллельными.

- Эта тень похожа, - сказал Илюша, - пожалуй, опять на кривую квадратного уравнения.

- Справедливо, - отвечал Коникос. - Ты получил параболу. А теперь подними кружок еще немного повыше, так, чтобы его горизонтальный диаметр был на уровне пламени.

Илюша приподнял кружок. Теперь на стол падала тень только от нижней части кружка. С одной стороны она тоже была похожа на овал, но с другой стороны тень уходила до самого края стола. Однако ее стороны не стремились к параллельности, а шли почти прямо в разные стороны.

- А это что такое?

- Н-не знаю, - сказал Илюша. - Но так как мы видели все конические сечения, кроме гиперболы, это, наверное, она и есть?

- Она самая. А скажи, пожалуйста, не встречал ли ты гиперболу вечером на улице?

- На улице? - удивился Илюша. - Нет, кажется, не встречал.

- А видал ли ты вечером на улице такую картину: у подъезда дома стоит автомобиль с одной зажженной фарой, и свет от фары падает на мостовую?

- 297 -

-Это я, конечно, видал, - ответил Илюша.

- Так вот имей в виду, что освещенный кусок мостовой и рисует на асфальте самую настоящую гиперболу, то есть одну из ее ветвей. Почему? Потому что световой пучок выходит из фары конусом, а мостовая в данном случае является секущей плоскостью по отношению к этому конусу. Когда увидишь эту гиперболу в следующий раз, кланяйся ей от меня... Эта геометрия теней называется проективной геометрией. Вот тебе и пятая геометрия! Учи только, не ленись, у нас геометрий хватит!

- Хорошо, - сказал скромно Илюша, - постараюсь.

- Эта геометрия, - пояснил Радикс, - имеет самое непосредственное отношение к искусству живописи, ибо только она может научить нас, как нарисовать некий предмет на плоскости так, чтобы зрителю казалось, что он видит перед собой настоящий предмет в трехмерном пространстве. Во времена Возрождения эта наука развивалась в трудах крупнейших живописцев того времени: таковы были знаменитый Аьбрехт Дюрер, живший в начале шестнадцатого века, крупнейший архитектор-итальянец Альберти (конец пятнадцатого века) и один из величайших художников всех времен, разносторонний гений Леонардо да Винчи (родился в тысяча четыреста пятьдесят втором году, скончался в тысяча пятьсот девятнадцатом), тоже итальянец по происхождению, который недаром сказал, что глаз человеческий - это "князь математики". Далее ее разрабатывал Паскаль (о нем ты уже слышал), а также и другой француз, Понселе, который был офицером наполеоновской армии, участвовал в походе на Россию, был тяжело ранен в сражении под Красным и подобран русскими войсками на поле боя. После этого он попал в плен к русским и почти целый год прожил в Саратове: там-то он и написал свое знаменитое сочинение по геометрии. Кстати сказать, развитие этой ветви геометрии способствовало правильному истолкованию математиками геометрии Лобачевского.

- 298 -

- Конечно, - заметил Илюша, - эта проективная геометрия теней очень красива, но геометрия Лобачевского мне как-то больше нравится.

- С тобой можно согласиться, - ответил Радикс. - Открытие Лобачевского вызвало сначала полное непонимание...

И при этом не только со стороны людей, которые были заведомо невеждами, а даже со стороны тех, которые, казалось бы, могли разобраться... Но слишком для них все это было неожиданно и непонятно. У себя на родине Лобачевский подвергался жестоким издевательствам в продажной печати времени императора Николая Первого. В то время как великий Гаусс учился русскому языку, чтобы прочесть сочинения Лобачевского в подлиннике, русские журналы, руководимые известным гонителем Пушкина, царским шпионом - Булгариным, глумились над Лобачевским, уверяя, что такую геометрию может выдумать только человек, поставивший себе цель - издевательство над наукой. Даже угрюмый реакционер, тогдашний министр народного просвещения, Уваров пытался защитить Лобачевского, но безуспешно. Булгарин спрятал его возражения "под сукно". Все, что мог сделать Уваров для Лобачевского, который был все-таки ректором Казанского университета, - это напечатать в официальном ученом "Журнале министерства народного просвещения" в ежегодном списке трудов русских ученых против имени Лобачевского: "Ректор Казанского университета, занимался сочинением статьи для журнала Крелле". Это кое-что значило для людей понимающих, ибо в то время математический немецкий журнал, издаваемый Крелле, был самым авторитетным журналом в мире.

В дальнейшем выяснилось, что Уваров рассчитал не так плохо, ибо статью Лобачевского в журнале Крелле заметил и похвалил сам Гаусс! А гордость родины, математик Лобачевский, так и умер, даже не удостоенный звания доктора наук за свои труды, ставшие краеугольным камнем для всей новой математики девятнадцатого века[21].

- Страшно слушать!.. Но мне все-таки хотелось бы узнать, в чем самая суть этих удивительных трудов Лобачевского?

- Видишь ли, - задумчиво произнес Радикс, - попросту и коротко рассказать все это трудно. Но попробуем все-таки!

- 299 -

Древняя математика оставила нам замечательные достижения.

Недаром некоторые историки науки говорили о "греческом чуде". Но кроме того, от древности нам в наследство осталось немало нерешенных вопросов, научных загадок. И некоторые из них были трудности непомерной. С квадратичными иррациональностями греки сами справились. Удивительные труды Архимеда и Аполлония затронули более сложные вопросы, которые дождались своего разрешения только уж в Европе в шестнадцатом и семнадцатом веках. Но вопросы, связанные с самыми основаниями евклидовой геометрии, смущавшие ученых еще в древности (как это видно из трудов Птолемея), получили свое разрешение только в девятнадцатом веке в работах Лобачевского. Когда это наконец было сделано, осознано и разработано, наша наука вступила в новую стадию. Это уже не было прямой разработкой творений Архимеда, а чем-то совершенно своеобразным, что дало науке новые великие силы.

Ибо наука получила после Лобачевского возможность не только исследовать те или иные задачи, но научилась изучать и понимать свою собственную сущность и все свое своеобразие.

- Собственную сущность... - повторил Илюша неуверенно, - то есть самую суть? Так я говорю?

- Да, в общем так. Но самое главное заключается в том, что великая система не-евклидовой геометрии, построенная Лобачевским, постепенно привела людей к полной уверенности, что математика есть наука опытная.

- 300 -

Схолия Пяmнадцamая,

где продолжается беседа о судьбах древней математики, которая, как выясняется, долгое время жила на положении рабыни у жестоких восточных деспотов, выполняя под их свирепым надзором всякую черную работу, пока наконец хитроумный греческий мореход с железным копьем, на котором было высечено слово "ОТЧЕГО?" с громадным вопросительным знаком, не похитил ее и не привез под лазурное небо Эллады, где она и обрела наконец свою истинную родину. Затем Илюша постепенно узнаёт все более серьезные и удивительные вещи: о том, например, как греческий философ Демокрит придумал способ для определения объема конуса, и как этот способ стал развиваться в работах Архимеда, и как впоследствии из всех этих удивительных событий вырос тот самый Великий Змий, с грозной тенью которого Илюша имел честь встретиться в Схолии Второй.