Энрике Грасиан - Том 18. Открытие без границ. Бесконечность в математике

• Название: Том 18. Открытие без границ. Бесконечность в математике
• Автор: Энрике Грасиан
• Издательство: "Де Агостини"
• Жанр: Математика
• Год: 2014
• ISBN: 978-5-9774-0682-6; 978-5-9774-0713-7 (т.18)

Большинство из нас испытывает головокружение, думая о бесконечности: ее невозможно себе представить!

Быть может, именно поэтому она является неисчерпаемым источником вдохновения. В погоне за бесконечностью ученым пришлось петлять между догмами и парадоксами, вступать на территорию греческой философии, разбираться в хитросплетениях религиозных измышлений и секретов тайных обществ.

Но сегодня в математике бесконечность перестала быть чем-то неясным и превратилась в полноценный математический объект, подобный числам и геометрическим фигурам.

---

Георг Кантор, создатель теории множеств, считается одним из наиболее выдающихся математиков в истории.

 Отец  часто  писал  Кантору,  стремясь  воспитать  в  сыне  моральную  твердость,  основанную  на  религиозных  принципах.  Среди  переписки  очень  выделяется  письмо от  25  мая  1862  года,  в  котором  он,  помимо  прочего,  пишет:

 «[...]  Часто  наиболее  многообещающие  личности  сдаются,  столкнувшись с  незначительными  трудностями,  возникающими  при  решении  практических вопросов.  Они  оказываются  абсолютно  сломленными  и  в  лучшем  случае  переживают  серьезное  потрясение...  Поверь  мне,  дорогой  сын:  твоим  самым близким,  верным  и  опытным  другом,  который  должен  жить  в  тебе  и  укреплять  твое  сердце,  должен  быть  дух  истинной  веры...  Чтобы  предупредить все  возможные  проблемы  и  трудности,  которые  неизбежно  возникнут  по  причине  зависти  и  злословия  тайных  и  явных  недоброжелателей,  вызванных стремлением  к  успеху  в  нашем  деле  или  торговле,  чтобы  успешно  справиться с  ними,  тебе  прежде  всего  потребуется  обрести  как  можно  больше  знаний и  умений...  Закончу  письмо  такими  словами:  твой  отец,  вернее  твои  родители и  все  остальные  члены  нашей  семьи  и  в  Германии,  и  в  России,  и  в  Дании  смотрят  на  тебя  как  на  старшего  сына  и  ожидают,  что  твоя  звезда  ярко  засияет на  небосводе  науки.  Да  дарует  тебе  Господь  здоровья,  сил,  твердости  характера  и  да  пребудет  с  тобой  его  благословение.  Неизменно  следуй  Его  путем.

Аминь!»

 В  этом  письме  Георг-Вольдемар  Кантор  во  многом  предугадал  дальнейший  жизненный  путь  сына.  Вне  сомнений,  он  был  достаточно  умным  человеком  и  понимал, что  его  увлеченный  математикой  сын  отличается  беспокойной  и  творческой  натурой.

Отец  хотел  подготовить  юношу  к  возможным  трудностям,  с  которыми  тому  предстояло  столкнуться.  И  в  том  же  году  он  разрешает  сыну  начать  заниматься  математикой.  В  ответ  будущий  ученый  с  благодарностью  пишет:

 «Дорогой  отец,  представьте  себе,  с  каким  удовольствием  я  прочел  ваше  письмо.  Оно  определило  мое  будущее...  Теперь  я  счастлив,  поскольку  вижу,  что вам  придется  по  душе,  если  я  последую  своему  желанию.  Ожидаю,  что  вы, дорогой  отец,  найдете  удовольствие  в  моем  поведении,  так  как  моя  душа  и  все мое  существо  живет  в  моем  призвании.  То,  что  хочет  совершить  человек и  к  чему  его  толкает  его  внутреннее  стремление,  обязательно  исполнится».

 Кантор,  как  и  всякий  юноша,  которому  семейство  разрешило  заниматься  любимым  делом,  чувствовал  по  отношению  к  родным  глубокую  благодарность.  Некоторые  биографы  сходятся  на  том,  что  безоговорочное  подчинение  Кантора  отцу  стало одной  из  важнейших  причин,  по  которой  ученый  всегда  очень  неуверенно  чувствовал  себя  в  университетских  кругах.

 В  1862  году  он  начал  изучать  математику,  философию  и  физику  в  университете Цюриха,  однако  его  обучение  было  недолгим:  после  смерти  отца  в  июне  1863  года Кантор  перевелся  в  Берлинский  университет.  Интересно,  что  после  этого  он  ни  разу не  упоминал  об  отце.

 До  начала  XIX  века  центром  математики  была  Франция,  однако  в  годы  юношества  Кантора  она  уступила  место  Германии.  Учителями  Кантора  были  Кронекер, Куммер  и  Вейерштрасс.  Кронекер,  обучивший  его  азам  теории  чисел,  впоследствии стал  и  самым  суровым  критиком  идей  ученого,  но  наибольшее  влияние  на  Кантора оказал  Вейерштрасс.

 Большинство  работ  Кантора,  изданных  в  тот  период,  были  посвящены  арифметике  и  алгебре.  Летом  1866  года  ученый  вошел  в  математические  круги  Гёттингенского  университета  —  одного  из  престижнейших  центров  математики  в  Европе.

По  возвращении  в  Берлин  Кантор  стал  членом  группы  молодых  математиков,  которые  каждую  неделю  собирались  в  баре,  чтобы  поговорить  о  своей  работе  в  неформальной  обстановке.  В  1867  году  Кантор  защитил  докторскую  диссертацию,  в  которой  подробно  проанализировал  «Арифметические  исследования»  Гаусса.

Во  введении  к  его  работе  содержится  фраза,  выражающая  неспокойный  дух  человека,  который  в  будущем  стал  одним  из  самых  заметных  математиков  в  истории науки:  «В  математике  искусство  ставить  задачи  намного  важнее,  чем  искусство решать  их».

 Защита  докторской  диссертации  позволила  Кантору  занять  должность  приват-доцента  в  университете  Галле.  Жалование  ученого  напрямую  зависело  от  числа  студентов,  посещавших  его  занятия,  но  Галле  был  небольшим  городом  близ  Лейпцига, и  университет  здесь  был  гораздо  менее  престижным,  чем  Берлинский  или  Гёттингенский.  Кантор  понимал  это,  но  никогда  не  пытался  покинуть  Галле  и  проработал там  до  конца  жизни.

 В  1873  году  ученый  впервые  предположил  возможность  существования  разных видов  бесконечности.  Он  чувствовал,  что  между  множеством  натуральных  чисел и  множеством  вещественных  чисел  могут  существовать  не  только  качественные, но  и  количественные  различия.  Качественные  различия  были  ясны:  множество  натуральных  чисел  является  счетным,  а  множество  вещественных  чисел  —  нет.  Если бы  кто-то  смог  доказать,  что  бесконечное  множество  вещественных  чисел  больше, чем  бесконечное  множество  натуральных,  это  стало  бы  настоящим  потрясением  для математики  в  целом.  Первое  доказательство,  сформулированное  Кантором,  было опубликовано  в  1874  году  в  журнале  Крелле.  Следует  учитывать,  что  в  то  время о  множествах  нельзя  было  говорить  так  свободно,  как  мы  это  делаем  сейчас.  Первая работа  Кантора  на  эту  тему  вышла  в  1878  году  под  названием  «Вклад  в  теорию  множеств»  и  также  была  опубликована  в  журнале  Крелле.  Статья  содержала  абсолютно  неожиданные  результаты,  касавшиеся  алгебраических  чисел.  В  ней  шли  первые наброски  идей  о  трансфинитных  числах,  и  эта  работа  ознаменовала  начало  нового этапа  в  математике.  Однако  прежде  чем  идеи  Кантора  получили  признание  в  научных  кругах  и  он  смог  занять  должность,  позволявшую  продолжить  работу,  ему  пришлось  преодолеть  тернистый  путь:  некоторые  математики,  в  том  числе  его  бывший преподаватель  Кронекер,  активно  выступили  против  Кантора  и  препятствовали  его карьере,  что  было  для  ученого  очень  серьезным  потрясением.

 Университет  Галле,  в  котором  Кантор  преподавал  начиная  с  1872  года. Ученый  прожил  в  этом  маленьком  немецком  городе  до  самой  смерти.

Научные  журналы

 В  1826  году  Август  Леопольд  Крелле  (1780—1855)  основал  Journal  fur  die  reine  und angewandte  Mathematik  («Журнал  о  чистой  и  прикладной  математике»).  Его  название  указывало  цель,  к  которой  стремился  основатель:  восстановить  единство  математики,  которая,  в  отличие  от  Средних  веков  или  эпохи  Возрождения,  в  то  время была  четко  разделена  на  два  самостоятельных  направления  —  чистую  и  прикладную.  Впрочем,  математические  журналы  —  лишь  один  из  видов  научных  журналов.

 Первый  научный  журнал  в  истории  был  основан  под  эгидой  Лондонского  королевского  общества  и  ознаменовал  неизбежное:  распространение  научных  публикаций  и  их  характер  отныне  определяли  научные  общества.  Если  говорить  о  первых изданиях,  посвященных  исключительно  математике,  в  частности  об  «Анналах  математики»  Жергонна  или  журнале  Крелле,  то  следует  отметить  несколько  интересных  моментов.  Во-первых,  объем  публиковавшихся  в  них  работ  был  меньше,  чем в  сборниках  научных  трудов.  Во-вторых,  в  журналах  не  издавались  старые  тексты.

Обязательным  условием  публикации  были  новизна  и  оригинальность  работы.  Еще одним  интересным  моментом  стало  то,  что  в  этих  журналах  впервые  стали  выпускаться  совместные  работы,  а  не  труды,  выполненные  исключительно  силами  одного ученого,  как  было  до  сих  пор.

* * *

 СИЦИЛИЙСКАЯ  МАТЕМАТИКА

 Любопытно,  что  одно  из  первых  математических  сообществ  появилось  в  городе  Палермо,  и  центром  его стал  журнал  Rendiconti  del  Circolo  Matematico  di  Palermo, основанный  итальянским  математиком  Джованни Баттистой  Гуччиа  (1855-1914).  Обосновывая  авторитетность  нового  математического  общества,  Гуччиа отмечал,  что  оно  появилось  в  стране  с  «выдающейся математической  родословной».  Гуччиа  также  учредил несколько  премий,  и  это  привело  к  тому,  что  свои  работы  в  его  журнал  стали  отправлять  выдающиеся  математики.  За  короткое  время  журнал  неожиданно  получил международное  признание,  заняв  одно  из  первых  мест в  списках  международных  математических  сообществ.