Карлос Мадрид - Мир математики. т.32. Бабочка и ураган. Теория хаоса и глобальное потепление

• Название: Мир математики. т.32. Бабочка и ураган. Теория хаоса и глобальное потепление
• Автор: Карлос Мадрид
• Издательство: «Де Агостини»
• Жанр: Математика
• Год: 2014
• ISBN: 978-5-9774-0682-6; 978-5-9774-0727-4 (т.32)

Хаос буквально окружает нас. Солнечная система, популяции животных, атмосферные вихри, химические реакции, сигналы головного мозга и финансовые рынки — вот лишь некоторые примеры хаотических систем. Но по-настоящему удивительно то, что хаотическими могут быть простые системы, например двойной маятник. Очередной том из серии «Мир математики» рассказывает о хаосе, то есть о беспорядочном и непредсказуемом поведении некоторых динамических систем, а также о связи теории хаоса с глобальным изменением климата. Эта книга наверняка поможет читателю почувствовать очарование хаоса.

---

Американский физик Джулиан Спротт (род. 1942) описал мир, параллельный нашему, в котором первые два закона Ньютона выполняются, а третий, закон действия и противодействия, — нет. В этом мире силы взаимодействия двух тел не равны по величине и противоположны по направлению, а равны и по величине, и по направлению. Иными словами, когда лягушка, севшая на кувшинку, спрыгивает с нее, то кувшинка не отклоняется назад, а словно бы тянется вслед за лягушкой. Итоговая динамика обладает рядом любопытных свойств, в число которых входит хаотическое по ведение в задаче двух тел.

Хаотическая орбита в антиньютоновской задаче двух тел.

* * *

Но удивительнее всего хаотическое поведение не сложных систем (Солнечная система, погода, климат, атмосфера), а очень простых — оно свойственно, в частности, обычному маятнику. И действительно, если мы рассмотрим двойной маятник, который представляет собой обычный маятник, к концу которого подвешен еще один, то увидим, что при превышении определенного уровня энергии его движение становится хаотическим и абсолютно непредсказуемым.

Хаотическое движение двойного маятника.

* * *

НЕПЛОТНО ЗАКРЫТЫЙ КРАН

Многие из нас хотя бы раз наблюдали, как из неплотно закрытого крана капает вода. Но не все знают, что за этим явлением скрывается хаотическая система. Очень часто в падении капель нет никакой закономерности, и предсказать, когда упадет следующая капля, нельзя. Это явление изучил Роберт Шоу совместно с другими учеными из Калифорнийского университета. Его эксперимент начался с измерения временных промежутков между падениями отдельных капель с помощью микрофона. Затем полученные значения были сгруппированы попарно, и получилась последовательность пар чисел — точек плоскости. Изобразив эти точки на графике, исследователи получили сечение аттрактора. Если ритм падения капель был периодическим, на графике была видна разновидность предельного цикла, если же ритм был непериодическим, на графике наблюдался странный аттрактор. Это было не пятно, а структура, имеющая форму подковы — наиболее явного отпечатка, который оставляют операции растяжения и складывания траекторий, порождающие хаос. Здесь случайность опирается на детерминированный фундамент.

* * *

Основные области применения теории хаоса

В последние годы теория хаоса, нелинейная динамика и науки о сложности в целом играют важную роль в медицине, биологии и смежных областях. Слияние точных и гуманитарных наук всего за несколько лет доказало свою эффективность. До середины XX века медицину и физику, казалось, разделяла непреодолимая стена: единственным применением физики в медицине стало использование радиоволн для диагностики и лечения раковых заболеваний. Однако начиная с 1950-х годов в этой стене, к счастью для всех нас, стали возникать бреши: так, медицинская визуализация и получение изображений внутренних органов стали возможными только благо даря симбиозу математики, физики и медицины.

Теория хаоса также перестала быть наукой об абстрактных закономерностях и в руках специалистов превратилась в мощнейший инструмент. Применение теории хаоса в медицине не позволяет делать прогнозы и решать какие-либо частные задачи — оно скорее позволяет описывать некоторые аспекты поведения сложных биологических систем с помощью определенных «магических чисел», например экспонент Ляпунова, фрактальных размерностей и других. Иными словами, теория хаоса может использоваться при классификации состояний организма, наиболее ценным при этом будет не полученное числовое значение, а переформулирование медицинских задач, переход от наблюдений к моделированию и измерениям. Прекрасным примером этому служат кардиология, электроэнцефалография и магнитоэнцефалография. Через несколько лет исследования хаоса и фракталов в физиологии помогут получить важные показатели, позволяющие понять, что именно происходит в организме в ходе старения или во время болезни. Важнейшее открытие таково: организм здорового человека — сложная хаотическая система, организм больного человека, напротив, является строго упорядоченным.

Различные показатели работы сердца больного (в верхнем ряду) и здорового человека (в нижнем ряду). Периодичность и предсказуемость этих показателей свидетельствует о сердечных заболеваниях, в то время как у здорового человека показатели будут совершенно хаотическими.

С экспериментальной точки зрения эта проблема заключается в том, чтобы на основе временного ряда наблюдаемых или измеренных значений (пульса, ритмов мозговой активности) воссоздать развитие динамической системы (сердца или мозга соответственно) в фазовом пространстве, где мы сможем измерить и рассчитать магические числа хаоса: экспоненты Ляпунова, фрактальные размерности и так далее. Нам на помощь придет хитроумный прием, придуманный Давидом Рюэлем и Флорисом Такенсом: чтобы как-то воссоздать аттрактор системы, рассмотрим исходные значения с некоторым запаздыванием. Если мы имеем последовательность значений x1, x2, х3, х4 …, то можно образовать множество пар чисел (х1, x2), (x2, x3), (x3, x4). Эти точки определят некоторую траекторию на плоскости. Если мы сгруппируем числа в тройки, получим траекторию в пространстве. Таким образом, динамика нашей системы будет описываться динамикой этого множества точек, и мы сможем вычислить фрактальную размерность системы или ее экспоненты Ляпунова. Будем воссоздавать систему со все большим запаздыванием (то есть будем объединять данные не в пары или тройки, а в четверки, пятерки и так далее). Существует теорема, гласящая: если исходная система периодическая, то ее фрактальная размерность будет возрастать до определенного значения, после чего примет некоторое целое значение (то есть перестанет быть фрактальной, дробной) и будет оставаться неизменной. Если же исходная система хаотическая, то ее фрактальная размерность стабилизируется вблизи некоторого дробного значения и как минимум одна экспонента Ляпунова будет положительной.

Но нужна ли вся эта математика? Да, нужна, нравится вам это или нет. Как это ни парадоксально, простая динамика свидетельствует о заболевании, а сложная (хаотическая) динамика — синоним здоровья. Заболевание предполагает потерю сложности, а рост упорядоченности приближает нас к смерти. Появление упорядоченности сердечного или мозгового ритма у тяжелобольных пациентов — опасный симптом. Если измерить электрические сигналы мозга с помощью электродов, то полученная кривая будет казаться хаотической (непериодической) и фрактальной (то есть обладающей самоподобием). Если мы применим метод Рюэля — Такенса для восстановления аттрактора с запаздыванием, то увидим, что у здоровых пациентов в рассматриваемой системе будут наблюдаться странные аттракторы, у пациентов с заболеваниями головного мозга — квазипериодические циклы.

Наконец, следует отметить, что некоторые органы человека подобны фракталам.

Так, бронхи имеют практически фрактальную структуру со множеством ветвлений. Возможно, происходит это потому, что фракталы прекрасно позволяют перейти от одной размерности к другой в силу своей дробной размерности. Бронхи, имеющие фрактальную размерность, примерно равную двум, — идеальный переход от трехмерного дыхательного горла (его размерность равна 3) к плоскости диффузии (ее размерность равна 2), в ходе которого кислород из воздуха поступает в кровь.

Если ритмы мозговой активности беспорядочны и описывают странный аттрактор (слева), то человек здоров. Если же ритмы мозговой активности становятся периодическими и возникает предельный цикл (справа), это означает, что пациент испытывает приступ эпилепсии.

(источник: Корнелис Ян Стам, «Нелинейный динамический анализ ЭКГ и МЭГ: обзор новой области», журнал Clinical Neurophysiology 116/10, 2005).

* * *

ПОСЛЕДНИЙ РУБЕЖ: КВАНТОВЫЙ ХАОС

Может ли недетерминированное поведение субатомных частиц быть результатом непредсказуемости, которую мы связываем с хаосом? Нет, не может. В теории хаоса рассматриваются нелинейные уравнения, а вся квантовая механика основана на линейном уравнении — волновом уравнении Шрёдингера. Следовательно, квантовый эффект бабочки невозможен, так как уравнения квантовой физики линейны, а для возникновения хаоса необходима нелинейность.

При переходе от классической хаотической системы к соответствующей квантовой хаос исчезает, оставляя след в виде связанных между собой флуктуаций. Изучение этих следов получило название квантовой хаологии, или постмодернистской квантовой механики. Классическая механика является детерминированной и вместе с тем хаотической; квантовая механика, напротив, имеет вероятностную природу и вместе с тем отличается упорядоченностью. Следовательно, квантовая механика избавила нас от проклятия хаоса ценой того, что электроны, фотоны и прочие квантовые частицы кажутся нам безумными.