Стивен Строгац - Удовольствие от Х.Увлекательная экскурсия в мир математики от одного из лучших преподавателей в мир

• Название: Удовольствие от Х.Увлекательная экскурсия в мир математики от одного из лучших преподавателей в мир
• Автор: Стивен Строгац
• Издательство: Манн, Иванов и Фербер
• Жанр: Математика
• Год: 2014
• ISBN: 978-500057-008-1

Удовольствие от Х. Увлекательное путешествие в мир математики от одного из лучших преподавателей в мире / Стивен Строгац; пер. с англ. (Steven Strogatz. The Joy of X. A Guided Tour of Math, from One to Infinity) — М.: Манн, Иванов и Фербер, 2014.

Эта книга способна в корне изменить ваше отношение к математике. Она состоит из коротких глав, в каждой из которых вы откроете для себя что-то новое. Вы узнаете насколько полезны числа для изучения окружающего мира, поймете, в чем прелесть геометрии, познакомитесь с изяществом интегральных исчислений, убедитесь в важности статистики и соприкоснетесь с бесконечностью. Автор объясняет фундаментальные математические идеи просто и элегантно, приводя блистательные примеры, понятные каждому.

---

Для тех, кто желает узнать, как математика управляет «очень маленькими промежутками между простыми числами», эта тема красиво и четко изложена в статье Эндрю Гранвиля, посвященной аналитической теории чисел, см. T. Gowers, The Princeton Companion to Mathematics (Princeton University Press, 2008), рр. 332–348.

В интернете также есть прекрасная статья Терри Тао, которая позволяет проникнуть в мир простых чисел-близнецов. В частности, в ней рассказывается, как они распределяются, а также дается ответ на вопрос, почему математики считают, что их существует бесконечное множество. Затем приводится подробное доказательство его знаменитой теоремы (совместно с Беном Грином) о том, что простые числа могут образовывать арифметические прогрессии произвольной длины. См. T. Tao, Structure and randomness in the prime numbers, http://terrytao.wordpress.com/2008/01/07/ams-lecture-structure-and-randomness-in-the-prime-numbers/.

Подробнее о простых числах-близнецах см. http://en.wikipedia.org/wiki/Twin_prime, http://mathworld.wolfram.com/TwinPrimeConjecture.html.

148

Здесь я привожу свои соображения и не пытаюсь дать окончательный ответ на вопрос о расстоянии между двумя последовательными парами простых чисел-близнецов. Возможно, где-нибудь очень далеко на числовой прямой существуют две пары простых чисел-близнецов, которые находятся очень близко друг к другу. Введение в эти вопросы см. I. Peterson, Prime twins (June 4, 2001), http://www.maa.org/mathland/mathtrek_6_4_01.html.

В любом случае метафора о загадочных парах простых чисел-близнецов не осталась незамеченной в Голливуде. Вы можете посмотреть фильм под названием The Mirror Has Two Faces («У зеркала два лица»), в котором снимаются Барбра Стрейзанд и Джефф Бриджес. Он красивый, но не приспособленный к жизни в обществе профессор математики. Она профессор на кафедре английской литературы, смелая, энергичная, но привязанная к дому женщина (или, по крайней мере, таковой кажется), живущая вместе с матерью и неуравновешенной сестрой. В конце концов этим двум профессорам удается встретиться. Но когда их разговор за ужином заходит о танцах (что ему совсем не нравится), мужчина внезапно меняет тему и рассказывает о простых числах-близнецах. Она мгновенно понимает его мысль и спрашивает: «Что случится, если досчитать до миллиона? Там еще останутся такие пары?» Он почти падает со стула, восклицая: «Не могу поверить, что вы думали об этом! Именно это предстоит доказать в гипотезе о простых числах». Далее по фильму их отношения развиваются, и на день рождения она дарит ему пару запонок, на которых изображены простые числа.

149

Группа матраса известна в математике как четверная группа Клейна. Это одно из самых простых и гигантских скоплений возможностей. На протяжении почти 200 лет математики занимаются анализом групп и классификацией их структур. Захватывающее исследование теории групп и последние попытки классификации всех конечных простых групп см. M. du Sautoy, Symmetry (Harper, 2008).

Прим. ред.: В качестве введения в теорию групп рекомендуем: Ляховский В. Д., Болохов А. А. Группы симметрии и элементарные частицы. Л.: Изд-во ЛГУ, 1983; Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. И. Основы теории групп. М.: Наука, 1972; Богопольский О.В. Введение в теорию групп. М., Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002; Артамонов В. А., Словохотов Ю. Л. Группы и их приложения в физике, химии, кристаллографии. М.: Изд. центр «Академия», 2005.

150

Эта глава навеяна двумя недавно вышедшими книгами. N. Carter, Visual Group Theory (Mathematical Association of America, 2009) и B. Hayes, Group Theory in the Bedroom (Hill and Wang, 2008). Картер интересно и живописно рассказывает об основах теории групп. Он повествует о том, как она связана с кубиком Рубика, танцами, кристаллами, химией, искусством и архитектурой.

Читателям, которых заинтересует определение «группы», следует обратиться к авторитетным онлайн-справочникам или обычным учебникам. Для начала можно посоветовать страницу MathWorld http://mathworld.wolfram.com/topics/GroupTheory.html или страницу «Википедии» http://en.wikipedia.org/wiki/Group_(mathematics). В этой главе я больше внимания уделил группам симметрии, чем другим группам.

151

Майкл Филд и Мартин Голубицкий изучали взаимосвязи между теорией групп и нелинейной динамикой. В ходе исследования они создали на компьютере потрясающие графические изображения симметрии хаоса. О математике в искусстве и науке см. M. Field and M. Golubitsky, Symmetry in Chaos, 2nd edition (Society for Industrial and Applied Mathematics, 2009).

152

Несколько слов об обозначениях в этой главе, которые могут сбить с толку: в уравнениях типа HR = V символ H написан слева, поскольку демонстрирует, что это преобразование произведено в первую очередь. Картер применяет подобное обозначение в своей книге для функциональной композиции, однако читатель, возможно, знает, что многие математики используют обратную запись, в которой первое преобразование H находится справа.

153

Историю о Фейнмане и психиатре см. R. P. Feynman, Surely You’re Joking, Mr. Feynman! (W. W. Norton and Company, 1985), р. 158; J. Gleick, Genius (Random House, 1993), р. 223.

154

Если вас интересует искусство, лимерики, патенты, уловки ораторов и серьезная математика, как-то связанная с лентами Мебиуса, тогда все это вы найдете в увлекательной книге Cliff Pickover, The Mobius Strip (Basic Books, 2006). Ранее об этих чудесах писалось в статье M. Gardner, The world of the Mobius strip: Endless, edgeless, and one-sided, Scientific American, Vol. 219, № 6 (December 1968).

155

Пошаговые инструкции с фотографиями для некоторых занятий, описанных в этой главе, можно найти в статье How to explore a Mobius strip на http://www.wiki-how.com/Explore-a-Mobius-Strip. Джулиан Флерон предлагает множество других идей: бумажные гирлянды, сердечки и звездочки, для создания которых используются свойства ленты Мебиуса. См. Recycling Mobius, http://artofmathematics.wsc.ma.edu/sculpture/workinprogress/Mobius1206.pdf.

Кроме того, интересные бумажные модели описаны в классической книге S. Barr, Experiments in Topology (Crowell, 1964).

156

Основы топологии изложены в авторитетной работе R. Courant and H. Robbins (revised by I. Stewart), What Is Mathematics? 2nd edition (Oxford University Press, 1996). Увлекательный обзор этой области математики дан в книге M. Gardner, The Colossal Book of Mathematics (W. W. Norton and Company, 2001). В ней рассматриваются бутылки Клейна, узлы, сцепленные бублики и прочие занимательные примеры из топологии. Прекрасное современное изложение представлено в книге D. S. Richeson, Euler’s Gem (Princeton University Press, 2008). Более сложная подача материала, которая все же будет понятна тем, кто имеет прочные школьные знания по математике, представлена в главах по алгебраической топологии и дифференциальной топологии книги T. Gowers, The Princeton Companion to Mathematics (Princeton University Press, 2008), pp. 383–408.

Прим. ред.: Популярные книги по топологии для начинающих: Болтянский В. Г., Ефремович В. А. Наглядная топология. М.: Наука, 1982; Васильев В. А. Введение в топологию. М.: ФАЗИС, 1997; Косневски Ч. Начальный курс алгебраической топологии. М.: Мир, 1983; Милнор Дж., Уоллес А. Дифференциальная топология. Начальный курс. М.: Мир, 1972; Прасолов В. В. Наглядная топология. М.: МЦНМО, 1995; Стюарт Я. Топология. // Квант. 1992. № 7.

157

Принимая во внимание, что окружность и квадрат представляют собой топологически эквивалентные кривые, возникает вопрос: какие кривые будут топологически отличными друг от друга? Самый простой пример — отрезок прямой. Чтобы доказать это, предположим, что вы движетесь в одном направлении по окружности, квадрату или любой другой замкнутой кривой. Вы всегда будете возвращаться в исходную точку, что неверно при движении по отрезку прямой. Поскольку это свойство неизменно для всех преобразований, при которых сохраняется топология объекта (то есть при непрерывных деформациях, когда непрерывны и обратные деформации), и различается для замкнутых кривых и отрезков прямой, делаем вывод о том, что замкнутые кривые и отрезки прямой являются топологически различными объектами.

158

Видеоролики Ви, о которых шла речь в этой главе, — «Музыкальная шкатулка Мебиуса» и «История ленты Мебиуса: Винди и мистер Уг» — можно найти на YouTube. Со множеством других увлекательных путешествий в математику можно ознакомиться на сайте Ви http://vihart.com.

159

Работы Морица Эшера, Макса Билла и Кейдзо Ушио, в основе которых лежит лента Мебиуса, можно найти в интернете, введя в поисковую строку имя художника и слово «Мебиус». Использование ленты Мебиуса в литературе, искусстве, архитектуре и скульптуре описано в блоге Иварса Петерсона Mathematical Tourist, где приводятся фотографии и пояснения, http://mathtourist.blogspot.com/search/label/Moebius%20Strips.

Прим. ред.: Прекрасную статью «Математическое искусство М. К. Эшера» см. на http://im-possible.info/russian/articles/escher_math/escher_math.html.

160

Эта библиотека в настоящий момент находится в стадии строительства. Информацию о разработке ее дизайна и макет проекта можно найти на сайте архитектурного бюро BIG (Bjarke Ingels Group), http://www.big.dk/. На сайте представлен также 41 слайд с изображением внутренней и внешней архитектуры библиотеки, обзором музея, воздействия температур и т. п. Все это необычно, поскольку проект здания построен на принципе ленты Мебиуса. Сведения об архитекторе Бьярке Ингельсе и его работе содержатся в статье G. Williams, Open source architect: Meet the maestro of ‘hedonistic sustainability, http://www.wired.co.uk/magazine/archive/2011/07/features/open-source-architect.