Стивен Строгац - Удовольствие от Х.Увлекательная экскурсия в мир математики от одного из лучших преподавателей в мир

• Название: Удовольствие от Х.Увлекательная экскурсия в мир математики от одного из лучших преподавателей в мир
• Автор: Стивен Строгац
• Издательство: Манн, Иванов и Фербер
• Жанр: Математика
• Год: 2014
• ISBN: 978-500057-008-1

Удовольствие от Х. Увлекательное путешествие в мир математики от одного из лучших преподавателей в мире / Стивен Строгац; пер. с англ. (Steven Strogatz. The Joy of X. A Guided Tour of Math, from One to Infinity) — М.: Манн, Иванов и Фербер, 2014.

Эта книга способна в корне изменить ваше отношение к математике. Она состоит из коротких глав, в каждой из которых вы откроете для себя что-то новое. Вы узнаете насколько полезны числа для изучения окружающего мира, поймете, в чем прелесть геометрии, познакомитесь с изяществом интегральных исчислений, убедитесь в важности статистики и соприкоснетесь с бесконечностью. Автор объясняет фундаментальные математические идеи просто и элегантно, приводя блистательные примеры, понятные каждому.

---

Предупреждающие знаки сразу же можно увидеть уже в первых десяти простых числах: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29. Первое, что бросается в глаза, — их ряд начинается с нехорошего числа 2. Это число-чудак — самый большой неудачник. Оно единственное из простых чисел имеет несчастье быть четным. Неудивительно, что «это самое одинокое число после числа один» (как поется в песне).

Кроме 2, все остальные простые числа нечетные — но все же странные. Посмотрите, какие между ними расстояния: иногда два интервала (как между числами 5 и 7), иногда четыре (13 и 17), а порой шесть (23 и 29).

Чтобы еще сильнее убедиться, насколько беспорядочно расположены простые числа, сравните их с их добропорядочными братьями — нечетными числами 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13… Интервалы между нечетными числами всегда одинаковы: два интервала, равномерные, как барабанная дробь. Таким образом, они подчиняются простой формуле: n-е нечетное число равно 2n — 1. Простые числа, наоборот, маршируют под собственный барабан в ритме, который, кроме них, больше никто не слышит.

Учитывая нерегулярность интервалов между простыми числами, некоторые теоретики решили рассматривать их статистически, как членов некоей совокупности, вместо того чтобы искать их отличительные особенности. В частности, давайте посмотрим, как они распределяются среди обычных целых чисел. Сколько существует простых чисел, которые меньше либо равны 10? Или 100? Или произвольному числу N? Эта конструкция — прямой аналог статистического понятия функции распределения.

Представьте, что вы считаете простые числа, прогуливаясь между ними, подобно переписчику во время переписи населения. Изобразите их на оси x. Вы начинаете с числа 1 и идете вправо, подсчитывая простые числа, попадающиеся на пути. Ваш текущий результат будет выглядеть примерно так:

Значения на оси y показывают, сколько простых чисел вы насчитали, пока дошли до данного местоположения x. Для всех x меньше 2 значением на оси y будет 0, поскольку еще не попадались простые числа. Первое простое число появляется на отметке x = 2. И в этом месте график подскакивает вверх. (Попалось!) Затем он остается плоским до отметки x = 3, после чего делает скачок еще на один шаг. Такие чередования прыжков и горизонтальных отрезков образуют странную лестницу неправильной формы. Математики называют ее считающей функцией простых чисел.

Сравните эту картину с аналогичной картиной для нечетных чисел.

Здесь лестница идеально правильная, следуя линии с наклоном ½ — потому что интервал между соседними нечетными числами всегда равен 2.

Есть ли хоть какая-нибудь надежда найти что-нибудь подобное для простых чисел, несмотря на их блуждающий характер? Как это ни удивительно, есть. Ключ к разгадке в том, чтобы сосредоточиться на общей форме линии, а не на отдельных ступенях лестницы. Если мы уменьшим масштаб, из всей этой кажущейся неразберихи начнет вырисовываться кривая. Посмотрите на график функции нахождения всех простых чисел до 100.

Теперь мы меньше отвлекаемся на отдельные ступеньки. Кривая выглядит еще ровнее, если сосчитать все простые числа до миллиарда.

В противоположность первому впечатлению эта кривая не является прямой линией. По мере роста она слегка изгибается книзу. Такой изгиб означает, что простые числа становятся более редкими, изолированными и одинокими. Это то, что Джордано имел в виду, говоря про «одиночество простых чисел».

Такая разреженность кажется еще очевиднее, если посмотреть на данные «переписи» под другим углом. Помните, мы насчитали десять простых чисел среди первых тридцати целых чисел? Таким образом, там, где числовая прямая берет свое начало, примерно одно из трех чисел является целым, что составляет стабильные 33 %. Однако среди первой сотни чисел простых только двадцать пять. Их ряды сократились до одного из четырех, составляя уже 25 %, что вызывает беспокойство. А среди первого миллиарда чисел простых всего лишь 5 %.

И это суровый вестник наклоняющейся кривой. Простые числа похожи на вымирающее поколение. Они никогда не исчезают полностью — со времен Евклида известно, что они никогда не заканчиваются, но почти целиком растворяются в обычных целых числах.

Найдя функции, которые приблизительно соответствуют этой наклоняющейся кривой, теоретики чисел измерили, насколько одиноки простые числа, и выразили в виде формулы типичное расстояние между ними. Если N — большое число, то средний интервал между простыми числами, ближайшими к N, приблизительно равен lnN, то есть натуральному логарифму от N. (Натуральный логарифм ведет себя так же, как и обычный десятичный логарифм, изучаемый в средней школе, но в его основе лежит число e, а не 10. Он является натуральным в том смысле, что повсюду встречается в высшей математике, входя в окружение числа e. Подробнее о повсеместном использовании числа e читайте в главе 19.)

Хотя формула lnN для вычисления среднего промежутка между простыми числами не слишком хорошо работает для малых N, ее эффективность улучшается при приближении N к бесконечности, где ошибка формулы в процентном соотношении приближается к нулю. Чтобы получить представление об этих числах, допустим, что N = 1000. Выясняется, что существует 168 простых чисел меньше 1000 и что средний промежуток между ними в этой части числовой прямой составляет 1000/68, или примерно 5,9. Для сравнения, согласно формуле средний интервал должен равняться ln(1000) ≈ 6,9, что превышает реальное значение примерно на 17 %. Но если мы пойдем дальше, скажем, для N = 1 000 000 000, то реальный и вычисленный по формуле интервалы составят 19,7 и 20,7 соответственно, и разность между ними будет примерно 5 %.

Формула lnN, где N стремится к бесконечности, сегодня известна как теорема простых чисел[145]. Она впервые была записана (но не опубликована) Карлом Гауссом[146] в 1792 году, когда ему было всего пятнадцать лет. (Видите, на что способен ребенок, лишенный развлечений в виде игровой приставки?)

Что же касается других молодых людей, о которых шла речь в этой главе, Маттиа и Аличе, то, я надеюсь, вы оценили, насколько это захватывающе, что два простых числа-близнеца[147] продолжают существовать в самых далеких пространствах числовой прямой, «в этом молчаливом измеренном пространстве, состоящем только их цифр». Против них ополчилась целая армия нечетных чисел. Согласно теореме простых чисел, любое отдельно взятое простое число, находящееся вблизи N, не имеет права ожидать, что его потенциальный друг приблизится к нему ближе чем на lnN и пропасть между ними намного превышает 2, если N — большое число.

Но все-таки некоторые пары побеждают нечетные числа. Компьютеры нашли простые числа-близнецы в невероятно отдаленных областях числовой прямой. Где-то вдали уютно устроилась самая большая известная пара двух чисел, каждое из которых состоит из 100 355 десятичных цифр.

Согласно гипотезе о простых числах, подобные пары будут появляться всегда.

Так не попробовать ли нам поискать поблизости от этих чисел еще какую-нибудь парочку простых чисел[148], чтобы сообразить с ними на четверых? Удачных поисков!

26. Групповое мышление

Мы с женой спим совершенно по-разному, и это видно по нашему матрасу. Она подминает под себя подушки, всю ночь ворочается, и матрас под ней практически не вдавлен. А я сплю на спине, в позе мумии, отчего на моей стороне кровати образуется впадина.

Производители кроватей рекомендуют периодически переворачивать матрас, вероятно, имея в виду таких людей, как я. Но как это лучше сделать? Как именно его надо переворачивать, чтобы он изнашивался максимально равномерно?

Брайан Хэйес изучает эту проблему на небольшом опыте, который описывает в книге Group Theory in the Bedroom («Теория групп в спальне»). Отбросим двусмысленности, поскольку «группа», о которой пойдет речь, представляет собой совокупность математических действий, то есть всех возможных способов переворачивания или разворачивания матраса, чтобы он при этом точно совпадал с каркасом кровати.

Надеюсь, подробное рассмотрение математики матраса[149] позволит вам получить более общее представление о теории групп[150], одном из самых многогранных разделов математики. Эта теория лежит в основе всего — от хореографии народного танца и фундаментальных законов физики элементарных частиц до мозаики Альгамбры с ее хаотичными элементами[151], показанными на этой картинке.

Как видно из этих примеров, теория групп — это связующее звено между искусством и наукой. Она обращается к тому, что является общим для этих двух областей — неизменному очарованию симметрии. Охватывая столь широкий круг явлений, теория групп неизбежно будет абстрактной. Она вскрывает саму сущность симметрии.