Алекс Беллос - Алекс в стране чисел. Необычайное путешествие в волшебный мир математики

• Название: Алекс в стране чисел. Необычайное путешествие в волшебный мир математики
• Автор: Алекс Беллос
• Издательство: КоЛибри
• Жанр: Научпоп
• Год: 2012
• ISBN: 978-5-389-01770-2

Алекс Беллос, известный журналист, многие годы работавший для «Guardian», написал замечательную книгу о математике. Книга эта для всех — и для тех, кто любит математику, и для тех, кто считает ее невероятно скучной и далекой от жизни. Беллосу удалось создать настоящий интеллектуальный коктейль, где есть и история, и философия, и религия, и конечно же математика — чудесные задачки, которые пока не решишь, не заснешь!

---

Но не только из-за беспорядочного расположения слов, обозначающих числа, и не только из-за отсутствия регулярности при образовании числительных от 11 до 19 те, кто говорит на основных западноевропейских языках, оказываются в менее выгодном положении по сравнению с теми, кто говорит на азиатских. Нам мешает и то, сколько времени занимает само произнесение слова-числительного. В книге «Чувство числа» Станислас Деэн приводит список — 4, 8, 5, 3, 9, 7, 6 — и просит запомнить его за 2 секунды. У англоязычных читателей вероятность правильного запоминания семи чисел равна 50 процентам. Однако люди, говорящие на мандаринском варианте китайского языка, в состоянии без особого труда запомнить девять чисел. Деэн полагает, что количество цифр, которое мы способны удержать в голове в любой данный момент времени, определяется тем, сколько слов мы можем произнести за две секунды. Все китайские слова для обозначения чисел от одного до девяти содержат по одному краткому слогу: «ви», «ер», «сан», «си», «ву», «лью», «ки», «ба», «джу». Каждое из них можно выговорить менее чем за четверть секунды, так что в течение двухсекундного интервала говорящий по-китайски может запросто оттарабанить все девять штук. Произнесение же каждого из чисел по-английски требует почти треть секунды (из-за «seven», где два слога, и длинного слога в «three»), так что предел, которого англоязычный человек может достичь за две секунды, — всего семь чисел. Рекорд, впрочем, принадлежит говорящим на кантонском диалекте китайского языка, на котором, в частности, говорят в Гонконге, — тут числительные еще короче. Гонконгцы в состоянии запомнить десять цифр за две секунды.

В то время как западные языки как будто бы противодействуют всякой попытке упростить понимание математики, в Японии язык, наоборот, зачислен в ее союзники. Слова и фразы изменяются, например, для того, чтобы облегчить запоминание таблицы умножения (которая называется «куку»). Традиция таблицы умножения восходит к Древнему Китаю, откуда она проникла в Японию примерно в XVIII столетии. «Ку» по-японски «девять», и принятое название отражает тот факт, что раньше таблица умножения начиналась с конца — с умножения 9 × 9 = 81. Около 400 лет назад произошли изменения, в результате которых «куку» теперь начинается с «один один есть один».

В «куку» написаны просто следующие слова:

Один один есть один

Один два есть два

Один три есть три

…

Это продолжается до «Один девять есть девять», а затем появление двоек начинается так:

Два один есть два

Два два есть четыре

И т. д. до «Девять девять есть восемьдесят один».

Пока все довольно похоже на обычную таблицу умножения. Однако когда в «куку» имеется два способа произнесения слова, выбирается тот, при котором слова лучше «ложатся». Например, словом для числа 1 может быть «ин» или «ичи», и «куку» начинается не с «ин ин» или же «ичи ичи» — японцы используют более звучную в произнесении комбинацию «ин ичи». Слово для числа восемь — «ха». Восемью восемь должно бы быть «ха ха». Однако строка в «куку» для 8 × 8 — это «хаппа», потому что такое слово легче скатывается с языка. В результате «куку» представляет собой нечто почти зарифмованное, наподобие стихов для детей. В начальной школе в Токио я наблюдал, как семи- и восьмилетние ученики учат «куку». Меня поразило, насколько звучание таблицы умножения было похоже на рэп — синкопированые фразы произносились с выражением. Происходящее было решительно не похоже на то, как сам я, по моим воспоминаниям, проговаривал таблицу умножения — с периодичностью пыхтящего паровоза, который тащит поезд в гору. Макико Кондо, учительница тех токийских детишек, сказала, что учит их проговаривать «куку» в быстром музыкальном ритме — так разучивать таблицу умножения гораздо веселее. «Сначала мы добиваемся, чтобы дети просто выучили ее наизусть, и только потом, некоторое время спустя, до них доходит истинный смысл произносимого». Таким образом, поэзия «куку» внедряет таблицу умножения прямо в мозги японцев. Взрослые японцы говорили мне, что они знают, например, что «семью семь есть сорок девять», не потому, что помнят арифметику, а потому, что фраза «семью семь сорок девять» хорошо звучит.

Неправильные словоформы для обозначения чисел в западных языках, возможно, не слишком облегчают жизнь тем, кто начинает свое знакомство с арифметикой, зато они исключительно интересны для историков математики. По-французски число 80 выражается как «quatre-vingts», или «четыре двадцатки», что указывает на систему с основанием двадцать, которой, возможно, некогда пользовались предки современных французов. Высказывалось также предположение, что причина, по которой слова, обозначающие «девять» и «новый», весьма схожи во многих индоевропейских языках, включая французский («neuf» и «neuf»), испанский («nueve» и «nuevo»), немецкий («neup» и «neu») и норвежский («ni» и «ny»), — это наследие давно позабытой системы счета с основанием 8, в которой девятый предмет шел первым в новом наборе из восьми. (Если не использовать большие пальцы, то на обеих руках остается восемь пальцев, что, возможно, и послужило развитию системы с основанием 8. Или, быть может, она возникла из пересчета промежутков между пальцами.) Слова-числительные также напоминают нам, насколько недалеко мы ушли от племен Амазонии и Австралии, вообще не знающих чисел: по-английски «thrice» может означать как «три раза», так и «много раз»; по-французски «trois» — это «три», a «frès» — «очень»; все это — напоминания о той далекой поре, когда наши предки тоже считали «один, два, много».

* * *

Итак, определенные аспекты числа — такие, как основание, способ составления числительных и используемые словоформы — различны в разных культурах. Однако ранние цивилизации проявляли удивительное единодушие в отношении механических средств для счета и вычислений. Общий метод, который они применяли, называется «позиционным». Он основан на принципе, согласно которому различные положения используются для представления чисел различных порядков. Рассмотрим, что это означало, например, для пастухов в средневековом Линкольншире. Как уже говорилось, у них было 20 чисел, от «yan» до «piggot». Как только пастух доходил в счете овец до 20, он откладывал камушек и начинал снова считать от «yan» до «piggot». Если имелось 400 овец, у него должно было набраться 20 камушков, потому что 20 × 20 = 400. Представим себе теперь, что у пастуха тысяча овец. Если он пересчитает их всех, у него наберется 50 камушков, потому что 20 × 50 = 1000. Однако перед ним встает проблема: у него нет способа их сосчитать, ведь его счет ограничен числом 20!

Всего овец = (10 × 20) + (2 × 400) = 1000

Однако выход есть: нужно нарисовать на земле параллельные бороздки, как показано на рисунке. Когда пастух насчитает 20 овец, он положит камень в первую бороздку. Когда он насчитает следующие 20, положит еще один камень в первую бороздку. Первая бороздка будет постепенно заполняться камнями. Но когда настанет момент класть туда двадцатый камень, вместо этого он положит один-единственный камень во вторую бороздку, а из первой уберет все камни. Другими словами, один камень во второй борозде означает 20 камней в первой — в точности так же, как один камень в первой означает 20 овец. Тогда камень во втором ряду будет означать 400 овец. Пастух, у которого тысяча овец, при использовании этой процедуры получит два камня во втором ряду и десять в первом. Используя подобную позиционную систему счисления — когда разные борозды придают различные значения положенным в них камням, — он потратил только 12 камней, чтобы досчитать до 1000 овец, а не 50 камней, которые потребовались бы без этого изобретения.

Позиционные системы счета использовались по всему миру. Вместо камней в бороздках инки передвигали бобы или зерна маиса на специальных лотках. Североамериканские индейцы передвигали бусины или ракушки на разноцветных нитках. Греки и римляне использовали фишки из костей, слоновой кости или металла, лежащие на столах с размеченными колонками. В Индии использовали отметки на песке.

Кроме того, римляне изобрели абак, представлявший собой механическую реализацию «позиционного» принципа: в абаке бусинки передвигали по прорезям. Этот переносной вариант счетной системы распространился по всему цивилизованному миру, хотя детали и варьировались от страны к стране. В России на счетах имеется десять костяшек на каждом стержне. В китайском «суаньпане» их семь, а в японском «соробане» — самом компактном из всех — пять.