Алексей Лосев - Хаос и структура

• Название: Хаос и структура
• Автор: Алексей Лосев
• Жанр: Математика
• Год: 1993

"Все философско–математические и логические исследования, представленные в данном томе, созданы в 30—40–х годах, и ни одно из них не знало печатного станка при жизни автора. Работа, проделанная им на отрезке жизни вплоть до фатальной «Диалектики мифа», позволяла с уверенностью определять «трех китов», несущих, по Лосеву, весь груз мироустройства, — Имя, Миф, Число.

"Содержание тома можно условно разделить на две части. Первая посвящена философским вопросам математики и представлена книгой «Диалектические основы математики», вторая—философским вопросам логики, и ее образуют работы «О методе бесконечно–малых в логике» и «Некоторые элементарные размышления о логических основах исчисления бесконечно–малых». Завершает том небольшой фрагмент «Математика и диалектика». Работы второй части, безусловно представляя самостоятельный интерес, в то же время определенным образом восполняют утрату тех разделов «Диалектических основ математики», где должна была трактоваться содержательная сторона дифференциального и интегрального исчислений."

---

Величина [постоянная ] есть тождество внутренней дробности и внешней алогически становящейся отрицательности, данное как алогически становящаяся отрицательность— в своем (неподвижном) самотождественном различии.

Величина [переменная ] есть тождество внутренней дробности и внешней алогически становящейся отрицательности, данное как алогически становящаяся отрицательность в своем (подвижном покое].

Величина [непрерывная) есть тождество внутренней дробности и внешней алогической отрицательности, данное как новое алогическое [становление]. Или: непрерывная величина есть тождество внутренней дробности и внешней алогической отрицательности, данное как синтез постоянной и переменной величин.

Короче: постоянная величина есть иррациональность в своем самотождественном различии, переменная—иррациональность в своем подвижном инобытии; непрерывная величина — иррациональность как становящийся синтез (или определенная единичность) постоянной и переменной величин.

Все эти определения и введенные для них термины надо понимать исключительно так, как это было разъяснено в предыдущем анализе. Всякое малейшее отклонение от принятого выше понимания терминов способно превратить все эти формулы в полную бессмыслицу. Так, нельзя «отрицательность», «отрицание» понимать чисто арифметически или алгебраически. Отрицание здесь есть диалектическое инобытие утверждения, а не просто действие, которое в математике обозначается знаком минуса. Для подчеркивания этого обстоятельства в формулу введены слова «алогическое» и «становящееся», хотя, строго говоря, достаточно было бы употреблять только один из этих терминов. Нечего, далее, удивляться, например, тому, что момент «дробности» введен в определение постоянной величины. Постоянство как противоположность изменчивости содержит в себе последнюю на стадии нуля, т. е. потенциально. А всякая изменчивость возможна только там, где имеется частичная проявленность, т. е. некое дробящееся и, следовательное, дробное основание. Так же и «бытие» нужно понимать в этих формулах так, как мы понимаем эту категорию в общей диалектике: бытие здесь — твердо полагаемое нечто, устойчивое или, вернее, пока еще не перешедшее от чистой положенности ни в какие иные качественные обстояния. Это именно и закрепляет алогическое становление на одной точке и превращает его длительную стихию в неподвижную значимость постоянного количества. И т. д. и т. д. Разъяснять эти термины во второй раз не стоит. Нужно только напомнить, что эти термины взяты в строго определенном и специфическом значении. А даже если лучше было бы употребить какие–нибудь другие термины, то от этого существо дела не изменилось бы. Важна в конце концов не словесная оболочка термина, а его внутренняя смысловая значимость.

7. Три изученные категории возникли как рассмотрение в свете цельной иррациональности — первого момента, входящего в иррациональное число, а именно в свете отрицания. Но мы знаем, что иррациональность есть синтез внешнего отрицания и внутренней дробности. Последняя также может быть рассмотрена в свете иррациональности. И что же получится из этого? Надо, стало быть, взять дробное число, но — погрузить его в стихию иррационально становящегося тождества постоянства и изменчивости. Когда мы сделали вывод трех указанных категорий, мы погружали иррациональность в чистое становление; алогически становящаяся отрицательность застигала там чистую иррациональность и превращала ее в непрерывно текучую форму становления, т. е. в непрерывность. Теперь, наоборот, выступает не внешнее алогическое становление на первый план, но внутренняя дробность, и она является здесь главным предметом внимания. Но в иррациональности главное — это определенным образом данное тождество внутреннего и внешнего. При выводе трех разнообразных категорий это тождество внутреннего и внешнего дано внешними и притом алогически становящимися средствами. Теперь же мы должны дать это тождество внутреннего и внешнего внутренними и притом дробно осмысленными средствами. В первом случае все отдельные моменты текучей иррациональности сливаются в одну непрерывную массу, во втором же случае те или иные (а может быть, и все) моменты текучей иррациональности разрываются ввиду привхождения дробящей силы внутреннего числового содержания. В первом случае мы, придавая те или иные количественные значения данной величине, убеждаемся, что любая точка становления этой величины способна подвергнуться той или иной количественной значимости без риска прервать равномерное протекание самой величины в смысле возрастания или убывания. Мы сравниваем тут возрастание или убывание величины с самой величиной и убеждаемся, что величина продолжает везде действовать так же, как и раньше. Иная картина — в новом случае, когда привходит внутренняя дробность. Тут тоже продолжается непрерывное протекание величины в том или ином направлении. Но тут, начиная сравнивать эти нарастающие значения величины с самой величиной, мы находим, что отнюдь не всегда и не везде эти значения обладают способностью соответствовать равномерному действию самой величины. Сама величина, т. е. ее внутреннее содержание, дробна; и потому надо, чтобы эта дробность как–нибудь отразилась на непрерывном протекании величины. Должна получиться дробная, т. е. частичная, непрерывность, а не та полная, которой раньше соответствовала в качестве внутреннего числового содержания целость. Но что такое частичная непрерывность? Частичная непрерывность есть прерывность. В прерывной величине мы и находим такую иррациональность, которая дана как внутренняя дробность числового содержания.

В прерывной величине, как и в непрерывной, имеется обычная антитеза внутреннего и внешнего, синтезированная как рациональное и как иррациональное число. Но когда эта антитеза залита внешне–становящимся материалом, тогда в ней не проявляется никакое начало, которое бы вносило ту или иную раздельность или расчлененность в образующийся общий непрерывный поток становления величины. Когда же начинает выступать дробность вместо алогического протекания, непрерывность начинает внутренне различаться и разделяться и — переходит в свою противоположность, в величину прерывную.

Таким образом, прерывная величина есть тождество внутренней дробности и внешней алогически становящейся отрицательности, данная как внутренняя дробность. Или короче: прерывная величина есть иррациональность, данная как внутренняя дробность.

Можно и здесь расчленить понятие на три последовательных диалектических этапа, отграничивая непрерывность сначала извне и тем полагая для нее прерывные границы, потом — внося дробление вовнутрь непрерывности и тем полагая различные границы внутри нее самой и, наконец, — давая чистое и общее понятие дробной непрерывности, или прерывности вообще. В первом случае мы получим непрерывность в определенных пределах, т. е. между определенными точками; во втором — непрерывность в одной точке и в третьем, наконец, — прерывную величину в общем и собственном смысле слова.

Кажется, примеры прерывной величины для демонстрации вышеизложенного понятия прерывности излишни. Но все–таки возьмем какую–нибудь прерывную функцию и отметим на ней указанные нами моменты этой категории. Пусть имеется функция tga; при возрастании α от 0° до 90° тангенс возрастает от 0 до +∞. При дальнейшем[179] увеличении α от 90 до 180° тангенс изменяется от —∞ до 0. В моменте, когда угол равняется 90°, происходит разрыв тангенса и он [от] + ∞ мгновенно переходит к — ∞ Имея это в виду, спросим себя: что нужно для осуществления этого разрывного момента и какие категориальные моменты его конструируют? Нужно, во–первых, чтобы речь касалась становления и, во–вторых, не просто становления, но становящегося а, [что] должен быть переменной величиной. В–третьих, этот а не просто есть переменная величина, но он должен и фактически меняться, причем это изменение есть опять–таки не просто изменение, но изменение, в котором бы целиком воплощалось становление как таковое, т. е. изменение непрерывное. И вот, наконец, когда α непрерывно изменяется от 0 к 90°, мы, наконец, вдруг замечаем это удивительное[180] явление, что данная функция tga разрывается и лишается своей непрерывности. От чего это зависит? Это зависит исключительно от внутреннего чисто смыслового содержания тангенса, который именно потому, что он — тангенс, производит разрыв в точке 90°. Стало быть, необходимо, в–четвертых, чтобы внешнее непрерывное изменение получало отдельную структуру от внутренней значимости этого tga. В данном случае эта внутренняя значимость действует как <…> и — в определенной точке разрывает протекание tga. На этом примере совершенно ясно участие в категории прерывной величины таких моментов, как становление, изменение, непрерывность, внутреннее и внешнее и синтез внутреннего и внешнего.