Роджер Пенроуз - Тени разума. В поисках науки о сознании

• Название: Тени разума. В поисках науки о сознании
• Автор: Роджер Пенроуз
• Издательство: Институт компьютерных исследований
• Жанр: Философия
• ISBN: 5-93972-457-4, 0-19-510646-6

Книга знаменитого физика о современных подходах к изучению деятельности мозга, мыслительных процессов и пр. Излагаются основы математического аппарата — от классической теории (теорема Гёделя) до последних достижений, связанных с квантовыми вычислениями. Книга состоит из двух частей: в первой части обсуждается тезис о невычислимости сознания, во второй части рассматриваются вопросы физики и биологии, необходимые для понимания функционирования реального мозга.

Для широкого круга читателей, интересующихся наукой.

---

DE = (a|α〉〈α| + b|β〉〈β|)|ψ〉〈ψ| = a|α〉〈α|ψ〉〈ψ| + b|β〉〈β|ψ〉〈ψ| = (a〈α|ψ〉)|α〉〈ψ| + (b〈β|ψ〉)|β〉〈ψ|.

Члены 〈α|ψ〉 и 〈β|ψ〉 могут «коммутировать» с другими выражениями, так как они представляют собой просто числа, порядок же таких «объектов», как |α〉 и 〈ψ| необходимо тщательно соблюдать. Далее получаем (учитывая, что zz' = |z2|, см. §5.8)

СЛЕД(DE) = (a〈α|ψ〉)〈ψ|α〉 + (b〈β|ψ〉)〈ψ|β〉 = a|〈α|ψ〉|2 + b|〈β|ψ〉|2.

Напомню (см. §5.13), что величины |〈α|ψ〉|2 и |〈β|ψ〉|2 представляют собой квантовые вероятности соответствующих конечных состояний |α〉 и |β〉, тогда как a и b суть классические вклады в полную вероятность. Таким образом, в окончательном выражении квантовые и классические вероятности оказываются смешаны.

В случае более общего измерения типа «да/нет» рассуждение в целом не изменяется, только вместо определенного выше проектора «£» используется проектор более общего вида

E = |ψ〉〈ψ| + |φ〉〈φ| + … + |χ〉〈χ|,

где |ψ〉, |φ〉, …, |χ〉 — взаимно ортогональные нормированные состояния, заполняющие пространство ДА-состояний в гильбертовом пространстве. Как мы видим, проекторы обладают общим свойством

E2 = E.

Вероятность получения ответа ДА при измерении, определяемом проектором E, системы с матрицей плотности D равна следу (DE) — в точности, как и в предыдущем примере.

Отметим важный факт: искомую вероятность можно вычислить, если нам всего-навсего известны матрица плотности и проектор, описывающий измерение. Нам не нужно знать, каким именно образом из индивидуальных состояний была составлена матрица плотности. Полная вероятность получается сама собой в виде соответствующей комбинации классических и квантовых вероятностей, а нам не приходится беспокоиться, какая ее часть откуда взялась.

Рассмотрим повнимательнее это любопытное переплетение классических и квантовых вероятностей в матрице плотности. Допустим, например, что у нас имеется частица со спином 1/2, и мы абсолютно не уверены, в каком спиновом состоянии (нормированном) она в данный момент пребывает — |↑〉 или |↓〉. Предположив, что соответствующие вероятности этих состояний равны 1/2 и 1/2, построим матрицу плотности

D = 1/2 |↑〉〈↑| + 1/2 |↓〉〈↓|.

Простое вычисление показывает, что в точности такая же матрица плотности D получается в случае комбинации равных вероятностей (1/2 и 1/2) любых других ортогональных возможностей — скажем, состояний (нормированных) |→〉 и |←〉, где |→〉 = (|↑〉 + |↓〉)/√2 = (|↑〉 - |↓〉)/√2:

D = 1/2 |→〉〈→| + 1/2 |←〉〈←|.

Допустим, мы решили измерять спин частицы в направлении «вверх», т.е. соответствующий проектор имеет вид

E = |↑〉〈↓|.

Тогда для вероятности получения ответа ДА, согласно первому описанию, находим

СЛЕД(DE) = 1/2 |〈↑|↑〉|2 + 1/2 |〈↓|↑〉|2 = 1/2 × 12 + 1/2 × 02 = 1/2,

где мы полагаем 〈↑|↑〉 = 1 и 〈↓|↑〉 = 0 (поскольку состояния нормированы и ортогональны). Согласно второму описанию, находим

СЛЕД(DE) = 1/2 |〈→|↑〉|2 + 1/2 |〈←|↑〉|2 = 1/2 × (1/√2)2 + 1/2 × (1/√2)2 = 1/4 + 1/4 = 1/2;

правое |→〉 и левое |←〉 состояния здесь не являются ни ортогональными, ни параллельными измеряемому состоянию |↑〉, т.е. на деле |〈→|↑〉| = |〈←|↑〉| = 1/√2.

Хотя полученные вероятности оказываются одинаковыми (как, собственно, и должно быть, поскольку одинаковы матрицы плотности), физические интерпретации этих двух описаний совершенно различны. Мы согласны с тем, что физическая «реальность» любой ситуации описывается некоторым вполне определенным вектором состояния, однако существует классическая неопределенность в отношении того, каким окажется этот вектор в действительности. В первом предложенном описании атом находится либо в состоянии |↑〉, либо в состоянии |↓〉, и мы не знаем, в каком из двух. Во втором описании — либо в состоянии |→〉, либо в состоянии |←〉, и мы снова не знаем, в каком именно. Когда мы в первом случае выполняем измерение с целью выяснить, не находится ли атом в состоянии |↑〉, мы имеем дело с самыми обычными классическими вероятностями: вероятность того, что атом находится в состоянии |↑〉, совершенно очевидно равна 1/2, и больше тут говорить не о чем. Когда мы задаем тот же вопрос во втором случае, измерению подвергается уже комбинация вероятностей состояний |→〉 и |←〉, и каждое из них вносит в полную вероятность свой классический вклад 1/2 помноженный на свои же квантовомеханический вклад 1/2, что дает в итоге 1/4 + 1/4 = 1/2. Как можно видеть, матрица плотности ухитряется сосчитать нам верную вероятность вне зависимости оттого, какие классические и квантовомеханические доли эту вероятность, по нашему предположению, составляют.

Приведенный выше пример является в некотором роде особым, поскольку так называемые «собственные значения» матрицы плотности в этом случае оказываются вырожденными (в силу того, что обе классические вероятности здесь — 1/2 и 1/2 — одинаковы); именно эта «особость» и позволяет нам составить более одного описания в комбинациях вероятностей ортогональных альтернатив. Впрочем, для наших рассуждений это ограничение несущественно. (А упомянул я о нем исключительно для того, чтобы избежать упреков в невежестве со стороны возможно читающих эти строки специалистов.) Всегда можно представить, что комбинация вероятностей охватывает гораздо большее число состояний, нежели просто набор взаимно ортогональных альтернатив. Например, в вышеописанной ситуации мы вполне могли бы составить очень сложные вероятностные комбинации множества возможных различных направлений оси спина. Иначе говоря, существует огромное количество совершенно различных способов представить одну и ту же матрицу плотности в виде комбинации вероятностей альтернативных состояний, и это верно для любых матриц плотности, а не только для тех, собственные значения которых вырожденны.

6.5. Матрицы плотности для ЭПР-пар

Перейдем к ситуациям, описание которых в терминах матриц плотности представляется особенно уместным — и в то же время выявляет один почти парадоксальный аспект интерпретации такой матрицы. Речь идет об ЭПР-эффектах и квантовой сцепленности. Рассмотрим физическую ситуацию, описанную в §5.17: частица со спином 0 (в состоянии |Ω〉) расщепляется на две частицы (каждая со спином 1/2), которые разлетаются вправо и влево, удаляясь на значительное расстояние друг от друга, в результате чего выражение для их совокупного (сцепленного) состояния принимает вид:

|Ω〉 = |L↑〉|R↓〉 - |L↓〉|R↑〉.

Предположим, что некий наблюдатель[45] имеет намерение измерить спин правой частицы с помощью некоего измерительного устройства, левая же частица успела уже удалиться на такое огромное расстояние, что добраться до нее наблюдатель не может. Как наш наблюдатель опишет состояние спина правой частицы?