Сэм Лойд - Самые знаменитые головоломки мира

• Название: Самые знаменитые головоломки мира
• Автор: Сэм Лойд
• Издательство: ООО «Фирма «Издательство ACT»
• Жанр: Детская образовательная литература
• Год: 1999
• ISBN: 5-237-02034-8

Сборник математических задач и увлекательных головоломок, принадлежащий перу одного из классиков этого жанра Сэма Лойда, несомненно доставит большое удовольствие всем любителям занимательной математики.

---

Чему равны длина моста и скорость коровы Кейси?

Решения

1. На приведенном рисунке показано, как астрономы расположили вновь найденную звезду, которая оказалась прямо-таки «сверхзвездой» и затмила остальные звезды.

2. Единственный возможный путь, удовлетворяющий условиям задачи, таков: Филадельфия, далее 15, 22, 18, 14, 3, 8, 4, 10, 19, 16, 11, 5, 9, 2, 7, 13, 17, 21, 20, 6, 12 и, наконец – Эри.

3. [Лойд не приводит решения данной головоломки. Он лишь сообщает, что большинство сборников головоломок дают решение в 52 хода, тогда как эту головоломку можно решить за 47 ходов. Г. Э. Дьюдени, известный английский мастер головоломок, опередил Лойда на один шаг, сведя число ходов к 46. – M.Г.]

4. Из 216 равновероятных исходов бросания трех костей вы выиграете только в 91 случае и проиграете в остальных 125. Таким образом, ваш шанс выиграть по крайней мере столько же, сколько вы поставили (то есть вероятность выигрыша), равен 91/216,тогда как шанс проиграть равен 125/216.

Если бы на костях всегда выпадали различные числа, то игра стала бы честной. Предположим, что на каждом квадрате лежит по 1 доллару. Тогда, выбросив три кости, на каждой из которых выпадают разные числа, владелец аттракциона получит 3 доллара и заплатит тоже 3 доллара. Но на двух одинаковых числах владелец зарабатывает 1 доллар, а на трех одинаковых числах – 2 доллара. Если игра длится достаточно долго, то владелец аттракциона может надеяться на каждом долларе игрока независимо от того, куда и сколько денег тот ставит, заработать около 7,8 цента. Таким образом, в среднем доход владельца аттракциона составляет 7,8 % общей суммы ставок.

5. Сначала проведите разрез AB, затем сложите 3 образовавшиеся части так, чтобы разрезы CD и EF можно было сделать одновременно.

На соседнем рисунке показано, как с помощью двух прямолинейных разрезов можно разделить подкову на 9 частей. Сначала проведите разрез AB, а затем сложите три части вместе так, чтобы остальные три можно было сделать одновременно (одним взмахом ножниц).

6. Проведем диагонали квадрата и параллельные им прямые, как показано на рисунке; тогда посаженные в точках пересечения виноградные лозы будут отстоять друг от друга на расстояние, чуть превышающее 9 футов, располагаясь рядами внутри изгороди, ограничивающей данный участок; всего их окажется 41.

7. Греческую эмблему можно нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги и сделав 13 поворотов, как показано на рисунке.

8. Любопытная особенность этой головоломки состоит в том, что, как бы вы ни ходили, «мужчина» никогда не сможет схватить «петушка», а «женщина» – «курочку», ибо, как принято говорить при игре в шахматы или шашки, петушок «обладает преимуществом в один ход»… по отношению к мужчине, и по тем же причинам женщина никогда не сможет оказаться в «соприкосновении» с курочкой. Но вот если мужчина погонится за курочкой, а женщина – за петушком, то они легко сумеют поймать цыплят! Одного из цыплят можно схватить на восьмом ходу, а другого – на девятом.

9. [В ответе Лойд использует два временных интервала, указанных в условии задачи, но эти интервалы на самом деле для решения не нужны. Пусть х означает точку (между Биксли и Пиксли), где был задан первый вопрос, а у – точку (между Пиксли и Квиксли), где был задан второй вопрос. Нам известно, что расстояние между х и у равно 7 милям. Поскольку расстояние от х до Пиксли равно 2/3 расстояния между Биксли и Пиксли, а расстояние от у до Пиксли составляет 2/3 расстояния между Пиксли и Квиксли, то из этого следует, что расстояние между х и у, то есть 7 миль, равно 2/3 всего пути. Значит, полное расстояние между Биксли и Квиксли равно 101/2 мили. – М. Г.]

10. Большой индюк весил 16 фунтов, а индюшонок – 4 фунта.

11. [Это первая из многих задач на разрезание, включенных в данный сборник. Читателю будет, наверное, небезынтересно узнать, что известный немецкий математик Давид Гильберт впервые доказал теорему, которая утверждает, что любой многоугольник, если его разрезать на конечное число частей, можно превратить в любой другой многоугольник, равновеликий первому. Подобные разрезания, однако, малоинтересны, если число частей не будет достаточно малым, чтобы решение стало элегантным и неожиданным. Почти все правильные многоугольники (за исключением пентаграммы, или пятиконечной звезды, которая доставляет массу трудностей) были использованы в весьма изобретательных головоломках на разрезание.[23] – M. Г.]

12. Среди первых 18 футов каната, измеренных лавочником, каждый ярд (то есть 3 фута) оказался короче своей истинной величины на 3 дюйма; значит, общая недостача на 18 футов составила 18 дюймов, или V/2фута. В оставшихся 2 футах потерь не было, поскольку для их измерения деревянный ярд использовался не на полную длину (потребовалось только 24 дюйма, а в нем было 33 дюйма). Следовательно, длина полученного моряком каната 81У2 фута, что при цене 2 цента за фут составляет 1 доллар 63 цента. Лавочник же получил лишь 1 доллар 60 центов (80 футов по 2 цента за фут), да и то фальшивой пятидолларовой монетой (он дал моряку сдачу 3 доллара 40 центов). Таким образом, общая сумма убытка составляет 5 долларов 3 цента. Тот факт, что сосед разменял ему золотую монету, на доходе или убытке не отражается.

13. Смит должен был начать с 99 долларов 98 центов, а осталось у него только 49 долларов 99 центов.

14. Лучший способ решения этой задачи основан на том факте, что площади кругов пропорциональны квадратам их диаметров. Если мы впишем квадрат ABCD в исходный круг и забудем об отверстии в центре, то площадь круга Е, вписанного в этот квадрат, как раз и составит половину исходной площади.

Теперь к кругу Е надо добавить половину площади отверстия. Мы впишем в отверстие квадрат, а затем в этот квадрат впишем новый круг. Площадь меньшего круга, следовательно, составит половину площади отверстия. Поместим теперь маленький круг в G так, чтобы его диаметр стал стороной прямоугольного треугольника, основанием которого служит диаметр круга Е. Гипотенуза HI будет тогда диаметром круга, площадь которого равна сумме площадей круга Е и маленького круга в G. Этот круг, показанный пунктирной линией, и дает искомый размер точильного круга после того, как последний сточится ровно наполовину. Его диаметр можно подсчитать следующим образом.

Диаметр круга Е совпадает с длиной стороны наибольшего квадрата. Зная, что диагональ этого квадрата равна 22 дюймам, мы находим, что его сторона, а значит, и диаметр круга E равны квадратному корню из 242. Аналогичным образом находим, что диаметр наименьшего круга составляет – квадратный корень из 242/49 дюйма.

Квадрат диаметра пунктирного круга равен сумме квадратов двух найденных диаметров, то есть 242 + 242/49 – 12100/49. Извлекая отсюда квадратный корень, мы и находим искомую величину, равную 110/7 – 155/7 дюйма. Таков должен быть диаметр точильного круга, когда его получит второй компаньон.

15. Разумеется, выиграет кошка. Чтобы пробежать все расстояние и вернуться, ей нужно сделать ровно 100 прыжков. Собака, напротив, вынуждена проделать 102 фута и вернуться обратно. На своем 33-м прыжке она достигнет отметки 99 футов, и поэтому ей необходимо сделать еще один прыжок, который приведет ее на 2 фута дальше нужной отметки. Таким образом, чтобы пройти всю дистанцию, собака должна сделать 68 прыжков. Но частота ее прыжков составляет только 2/3 от частоты прыжков кошки, так что на 100 прыжков кошки приходится лишь неполных 67 прыжков собаки.

Но у Барнума в кармане была возможность сыграть первоапрельскую шутку. Допустим, что кошку (а точнее, кота) зовут Васькой, а собаку – Жучкой! Тогда фразу «она делает 3 прыжка, в то время как ее соперник делает 2» следует понимать так, что собака пробегает расстояние в 9 футов, когда кот пробегает 4 фута. Таким образом, когда собака финиширует, сделав 68 прыжков, кот преодолеет расстояние всего лишь в 90 футов и 8 дюймов.

[Эта же самая головоломка вызвала в Лондоне чувство разочарования, когда Г. Э. Дьюдени опубликовал ее 1 апреля 1900 г. в еженедельнике The Weekly Dispatch. В варианте Дьюдени в беге состязались садовник (женщина) и повар (мужчина). – М. Г.]

16. Ответ приведен на рисунке.

17. На эту задачу нет однозначного ответа, если только вы не знаете, сколько заплатил делец за свой велосипед первоначально. А раз в условии это не сказано, то и решить задачу удовлетворительным образом невозможно.