Иэн Стюарт - Истина и красота. Всемирная история симметрии.

• Название: Истина и красота. Всемирная история симметрии.
• Автор: Иэн Стюарт
• Жанр: Математика

На протяжении многих веков симметрия оставалась ключевым понятием для художников, архитекторов и музыкантов, однако в XX веке ее глубинный смысл оценили также физики и математики. Именно симметрия сегодня лежит в основе таких фундаментальных физических и космологических теорий, как теория относительности, квантовая механика и теория струн. Начиная с древнего Вавилона и заканчивая самыми передовыми рубежами современной науки Иэн Стюарт, британский математик с мировым именем, прослеживает пути изучения симметрии и открытия ее основополагающих законов. Эксцентричный Джироламо Кардано — игрок и забияка эпохи Возрождения, первым решивший кубическое уравнение, гениальный невротик и революционер-неудачник Эварист Галуа, в одиночку создавший теорию групп, горький пьяница Уильям Гамильтон, нацарапавший свое величайшее открытие на каменной кладке моста, и, конечно же, великий Альберт Эйнштейн — судьбы этих неординарных людей и блестящих ученых служат тем эффектным фоном, на котором разворачивается один из самых захватывающих сюжетов в истории науки.

---

Но у этой интуитивной мощи есть и оборотная сторона. Многие из важнейших Виттеновых идей, выведенных из физических принципов или аналогий, появились без доказательств, а в отношении некоторых доказательства отсутствуют и по сей день. Не в том дело, что он не может дать доказательства, — может, как показывает его Филдсовская медаль, — а в том, что он может делать логические скачки, ведущие к глубокой и верной математике, словно бы не нуждаясь в доказательствах.

Главный вопрос — имеет ли изящная виттеновская математика какое-нибудь отношение к фундаментальной физике? Или же поиски красоты завели в математический тупик, где потеряна всякая связь с физической истиной? К 80-м годам двадцатого века физики объединили три из четырех взаимодействий, имеющихся в природе: электромагнитное, слабое и сильное[109]. Но Теории Великого Объединения ничего не говорят о гравитации. Сила, которую мы наиболее непосредственно ощущаем в повседневной жизни, которая буквально не дает нам витать в облаках, исключена из синтеза — конфуз?

Достаточно несложно написать комбинированную теорию, включающую гравитацию и квантовую теорию и с виду выглядящую разумно. Но при всякой попытке решить получающиеся там уравнения возникает бессмыслица. Как правило, числа, призванные выражать разумные физические величины, оказываются бесконечными. Бесконечность в физической теории указывает: что-то идет не так. Именно появление бесконечности в законе излучения подтолкнуло Планка к квантованию света.

Некоторые физики пришли к убеждению, что основной источник бесконечностей — это укоренившаяся привычка рассматривать частицы как точечные. Точка — местоположение без размера — представляет собой математическую фикцию. Квантовые частицы — вероятностным образом размазанные точки, но это не приносит полного облегчения; требуются какие-то более сильные средства. Даже в 70-х годах двадцатого века несколько первооткрывателей начали думать, что частицы можно разумным образом смоделировать как колебания очень маленьких петель — «струн». В 80-х, когда в дело вступила суперсимметрия, эти струны превратились в суперструны.

О суперструнах можно написать целую книгу, и таких книг в самом деле существует уже несколько, но мы обойдемся очень приближенным описанием, получаемым в основном путем размахивания руками. Я хочу выделить четыре свойства: способ, которым объединяются релятивистская и квантовая картины, нужда в дополнительных измерениях, интерпретация квантовых состояний как колебаний в этих дополнительных измерениях и симметрии дополнительных измерений — или, точнее, различных полей, которые в них живут.

Начнем с эйнштейновской идеи представления траектории частицы в пространстве-времени в виде кривой, которую он назвал мировой линией данной частицы. По существу, это кривая, которую частица описывает в пространстве-времени по мере своего движения. В теории относительности мировые линии — гладкие кривые, что определяется видом полевых уравнений Эйнштейна. Они не ветвятся, потому что в теории относительности будущее любой системы полностью определяется ее прошлым, даже ее настоящим.

Имеется аналогичная концепция в квантовой теории поля, называемая фейнмановскими диаграммами. Фейнмановские диаграммы описывают взаимодействие частиц в весьма схематичном пространстве-времени. Например, на рисунке слева показана фейнмановская диаграмма для электрона, испускающего фотон, который затем улавливается другим электроном. По традиции фотоны обозначаются волнистыми линиями.

Слева: фейнмановская диаграмма для взаимодействующих частиц. Справа: соответствующие мировые листы, в сечениях которых показаны струны.

Фейнмановская диаграмма несколько напоминает релятивистскую мировую линию, но у нее острые углы и она ветвится. В 70-х годах XX века в голову Йоиширо Намбу пришла мысль, что если вместо гипотезы о том, что частицы точечные, принять, что они представляют собой маленькие петли, то фейнмановские диаграммы можно превратить в гладкие поверхности — мировые листы, как показано на правой картинке. Мировой лист можно интерпретировать как мировую линию в модифицированном пространстве-времени с дополнительными размерностями, в которых живут петли.

Что здорово насчет петель — помимо того что они не точки, — так это их способность колебаться. Быть может, каждая мода колебаний соответствует квантовому состоянию. Это позволит объяснить, почему квантовые состояния всегда содержат целые кратные некоторой базисной величины — например, спина, который всегда есть целое кратное √1/2. Число волн, помещающихся на петле, должно быть целым числом. На скрипичной струне эти различные моды колебаний являются основным тоном и его высшими гармониками. Так что квантовая теория становится определенного вида музыкой, исполняемой на суперструнах вместо скрипичных струн.

Идея Намбу не взялась из ниоткуда. Она уходит своими корнями в замечательную формулу, выведенную Габриэле Венециано в 1968 году, которая показывала, что по видимости различные фейнмановские диаграммы представляют один и тот же физический процесс и что стоит только обойти этот факт вниманием, как вычисления в квантовой теории поля приведут к неправильному ответу. Намбу заметил, что, когда фейнмановские диаграммы окружаются трубками, различные диаграммы приводят к системе трубок с одной и той же топологией. Другими словами, системы трубок можно деформировать друг в друга. Так формула Венециано оказалась связана с топологическими свойствами трубок.

Струны выталкиваются из обычного пространства-времени в новое измерение.

Это в свою очередь подсказывало, что квантовые частицы, несущие свои дискретные квантовые числа типа заряда, могут быть топологическими свойствами гладкого пространства-времени. Математики уже были свидетелями того, как основные топологические свойства — такие как число дыр на поверхности — имеют тенденцию к дискретности. Вроде все сходилось. Но дьявол, как всегда, сидит в деталях, а детали оказались дьявольскими. Теория струн была первой попыткой получить детали, пребывающие в согласии с реальным миром.

Теория струн возникла вовсе не как способ построить Теорию Всего, а как некоторое предложение, высказанное для объяснения частиц, известных под собирательным названием адронов[110]. Эти частицы включают в себя большую часть[111] обычных частиц, обнаруживаемых в атомных ядрах, таких как протон и нейтрон, а также толпу более экзотических частиц. Однако в теории есть изъян: она предсказывает существование частицы с нулевой массой и спином 2, которая до тех пор (как и поныне) не наблюдалась. Кроме того, она не смогла предсказать ни одной частицы со спином 1/2, в то время как многие адроны, включая протон и нейтрон, имеют спин 1/2. Это похоже на летний прогноз погоды, который предсказывает градины в полметра диаметром, но ничего не говорит о том, будет ли тепло. Физики не впечатлились. В 1974 году, когда на арене появилась квантовая хромодинамика и не только объяснила все известные адроны, но даже успешно предсказала новый (омега-минус), судьба теории струн представлялась решенной.

В тот момент, однако, Джон Шварц и Жоэль Шерк заметили, что нежеланная частица с нулевой массой и спином 2, возникающая в теории струн, могла бы оказаться давно искомым гравитоном — гипотетической частицей, которая, согласно современным представлениям, должна переносить гравитационную силу[112]. Могла ли теория струн оказаться квантовой теорией не адронов, а гравитации? Если да, то она стала бы привлекательным соперником Теории Всего — ладно, Теории Много Чего, потому что есть много частиц, не являющихся адронами.

В тот момент в игру вступила суперсимметрия, потому что именно она превращает фермионы в бозоны. Адроны включают в себя частицы обоих сортов, хотя ряд других частиц, например электрон, не являются адронами. Если суперсимметрию можно было бы включить в теорию струн, то в теоретической модели автоматически появился бы целый ряд новых частиц, возникающих как суперсимметричные партнеры тех частиц, что уже присутствовали в модели.

Комбинированная теория, созданная Пьером Рамоном, Андрэ Неве и Шварцем, была теорией суперструн. Она включала частицы со спином −2, и в ней не было неприятного свойства обычной теории струн — появления частиц, движущихся быстрее света. Присутствие таких частиц в теории теперь рассматривается как свидетельство неустойчивости, из-за чего такие теории следует исключить из рассмотрения.

Начиная с 1980 года британский физик-теоретик Майкл Грин постепенно разрабатывал математику суперструн, используя методы теории групп Ли и топологии, и вскоре стало ясно, что, независимо от имеющихся у нее верительных грамот со стороны физики, теория суперструн обладает необычайной математической красотой. Физики продолжали упорствовать: в 1983 году Луис Алварес-Гомэ и Виттен обнаружили новую загвоздку с теориями струн, включая и суперструны, а заодно и с доброй старой квантовой теорией поля. А именно — эти теории, как правило, обладали аномалиями. Аномалия возникает, когда процесс превращения классической системы в ее квантовый аналог изменяет важные симметрии.