Иэн Стюарт - Истина и красота. Всемирная история симметрии.

• Название: Истина и красота. Всемирная история симметрии.
• Автор: Иэн Стюарт
• Жанр: Математика

На протяжении многих веков симметрия оставалась ключевым понятием для художников, архитекторов и музыкантов, однако в XX веке ее глубинный смысл оценили также физики и математики. Именно симметрия сегодня лежит в основе таких фундаментальных физических и космологических теорий, как теория относительности, квантовая механика и теория струн. Начиная с древнего Вавилона и заканчивая самыми передовыми рубежами современной науки Иэн Стюарт, британский математик с мировым именем, прослеживает пути изучения симметрии и открытия ее основополагающих законов. Эксцентричный Джироламо Кардано — игрок и забияка эпохи Возрождения, первым решивший кубическое уравнение, гениальный невротик и революционер-неудачник Эварист Галуа, в одиночку создавший теорию групп, горький пьяница Уильям Гамильтон, нацарапавший свое величайшее открытие на каменной кладке моста, и, конечно же, великий Альберт Эйнштейн — судьбы этих неординарных людей и блестящих ученых служат тем эффектным фоном, на котором разворачивается один из самых захватывающих сюжетов в истории науки.

---

Топология стала одной из наиболее мощных областей в современной математике со множеством применений в физике. Она сообщает нам о возможных формах многомерных пространств, что становится все более важным как в космологии, так и в физике частиц. В космологии желательно знать форму пространства-времени на максимально больших масштабах, т.е. на масштабах всей вселенной. В физике частиц желательно знать форму пространства и времени на малых масштабах. Можно подумать, что ответ очевиден, однако физики более так не считают. И их сомнения также родились в Кенигсберге.

В 1919 году никому не известный математик из Кенигсбергского университета Теодор Калуца выдвинул очень странную идею. Он записал ее и послал Эйнштейну, который, по-видимому, при получении письма потерял дар речи. Калуца нашел способ соединить гравитацию и электромагнетизм в рамках одной последовательной «объединенной теории поля» типа той, которую в течение многих лет пытался, но без особого успеха, построить Эйнштейн. Теория Калуцы была очень изящна и естественна. Беспокойство вызывало только одно обстоятельство: объединение требовало, чтобы у пространства-времени было не четыре измерения, а пять. Время, как всегда, оставалось временем, но пространство некоторым образом приобретало четвертое измерение.

Калуца не ставил своей целью объединить гравитацию и электромагнетизм. По какой-то причине, о которой лучше всего было бы спросить у него самого, он возился с пятимерной гравитацией в качестве некой математической разминки, пытаясь понять, как будут выглядеть полевые уравнения Эйнштейна, если пространство приобретет эту нелепую дополнительную размерность.

В размерности четыре уравнения Эйнштейна содержат десять компонент — в том смысле, что они сводятся к десяти отдельным уравнениям, описывающим десять различных чисел. Эти числа все вместе составляют метрический тензор, который описывает кривизну пространства-времени. В размерности пять имеются пятнадцать компонент и, таким образом, пятнадцать уравнений. Десять из них воспроизводят стандартную четырехмерную теорию Эйнштейна, что и неудивительно; четырехмерное пространство-время вкладывается в пятимерное пространство-время, так что естественно было бы ожидать, что четырехмерный вариант гравитации вкладывается в пятимерный. А что насчет оставшихся пяти уравнений? Они могли бы оказаться какой-нибудь вещью в себе, не имеющей никакой ценности для нашего мира. Но дело обстоит по-другому. Они оказались нашими давними знакомыми, что и изумило Эйнштейна. Четыре из оставшихся уравнений Калуцы были в точности уравнениями Максвелла для электромагнитного поля — теми самыми, которые выполнены в нашем четырехмерном пространстве-времени.

Одно остающееся уравнение описывало частицы очень простого вида, игравшие незначительную роль. Но никто, и менее всех Калуца, не ожидал, что и теория гравитации Эйнштейна, и теория электромагнетизма Максвелла сами собой возникнут из пятимерного аналога одной только гравитации. Вычисления Калуцы, казалось, говорили, что свет представляет собой колебания в дополнительном, скрытом измерении пространства. Гравитацию и электромагнетизм оказалось возможным соединить друг с другом таким образом, что не было заметно никаких швов, — но только ценой предположения, что пространство на самом деле четырехмерно, а пространство-время пятимерно.

Эйнштейн никак не мог принять решения по поводу статьи Калуцы, поскольку не было никаких причин считать, что пространство-время имеет дополнительное измерение. Но в конце концов он счел, что, сколь бы странной эта идея ни казалась, она была красива и потенциально обладала столь далеко идущими следствиями, что ее стоило опубликовать. После двух лет колебаний Эйнштейн рекомендовал статью Калуцы к публикации в ведущем физическом журнале. Статья называлась «О единстве физических проблем»[78].

Все эти разговоры про дополнительные размерности должны, наверное, звучать как нечто не вполне ясное и довольно мистическое. Это ли не концепция викторианских спиритуалистов, которые привлекали спасительное четвертое измерение всякий раз, как что-нибудь не складывалось в привычных трех? Где обитают духи? В четвертом измерении. Откуда берется эктоплазма? Из четвертого измерения. Теологи совсем уже было поместили там Бога и ангелов Его, когда осознали, что хотя пять — это хорошо, тем не менее шесть еще лучше и, в конце концов, бесконечная размерность подойдет для Всемогущего и Вездесущего.

Прекрасно, конечно, однако не слишком научно. Поэтому, быть может, стоит задержаться на некоторое время, чтобы прояснить относящуюся сюда математику. Основное положение состоит в том, что «размерность» чего-то в математике или физике — это число различных переменных, необходимых для его описания.

Ученые провели немало времени, размышляя о переменных — величинах, которые подвержены изменениям. Еще больше времени провели ученые-экспериментаторы за измерением значений этих величин. «Размерность» как геометрический способ указания на такие переменные оказалась настолько полезной, что прочно вошла в аппарат и язык естественных наук и математики, где считается чем-то весьма прозаичным и ничем не примечательным.

Время представляет собой непространственную переменную, так что оно дает нам возможную четвертую размерность, однако то же самое можно сказать про температуру, скорость ветра или продолжительность жизни термитов в Танзании. Координаты точки в трехмерном пространстве определяются тремя переменными — ее расстояниями к востоку, северу и вверх относительно некоей выбранной выделенной точки (отрицательные числа используются для противоположных направлений). Аналогично все, что зависит от четырех переменных, живет в четырехмерном «пространстве», а все зависящее от 101 переменной — в 101-мерном.

Любая сложная система по необходимости многомерна. Погодные условия у вас на заднем дворе зависят от температуры, влажности, трех компонент скорости ветра, барометрического давления, интенсивности осадков — что уже составляет семь размерностей, а можно было включить еще множество других. Могу поспорить, вы и не подозревали, что у вас семимерный задний двор. Состояние всех девяти (ладно, восьми; увы бедному Плутону!) планет в нашей солнечной системе определяется шестью переменными для каждой — тремя координатами и тремя компонентами скорости. Таким образом, наша Солнечная система является 54-(я хотел сказать, 48-) мерным математическим объектом; и гораздо более многомерным, если вы учтете спутники и астероиды. Экономика, в которой присутствуют миллионы различных объектов купли-продажи, каждый со своей собственной ценой, живет в миллиономерном пространстве. В сравнении с этим электромагнетизм, требующий всего шести дополнительных чисел, чтобы охарактеризовать локальные состояния электрического и магнитного полей, — сущее дитя[79]. Подобные примеры имеются в изобилии. По мере того как наука стала интересоваться системами с большим числом переменных, ей пришлось примириться с появлением экстравагантно многомерных пространств.

Формальная математика многомерных пространств носит чисто алгебраический характер и основана на «очевидных» обобщениях того, что имеет место в пространствах более низких размерностей. Например, каждую точку на плоскости (т.е. в двумерном пространстве) можно задать двумя координатами, а каждую точку в трехмерном пространстве — тремя. Сделаем небольшой шаг вперед и определим точку в четырехмерном пространстве как список из четырех координат; и, более общим образом, определим точку в n-мерном пространстве как список из n координат. Тогда само n-мерное пространство есть просто множество всех таких точек.

Подобные алгебраические манипуляции позволяют определить в n-мерном пространстве расстояние между любыми двумя точками, угол между любыми двумя линиями и так далее. Далее дело за воображением: большинство разумных геометрических форм, имеющихся в размерности два или три, допускают непосредственные аналоги в размерности n — чтобы определить их, надо описать привычные геометрические формы, используя координатную алгебру, а потом распространить это описание на n координат.

Чтобы получить представление об n-мерном пространстве, нам надо запастись n-мерными очками. Можно позаимствовать прием английского священника и школьного учителя Эдвина Эббота Эббота, написавшего в 1884 году небольшую книжку «Флатландия». Книга рассказывает о приключениях А. Квадрата, который живет в двумерном пространстве эвклидовой плоскости. Эббот не сообщает нам, что означает первое «А»; я же уверен, что это «Альберт», по причинам, объясненным в написанном мною продолжении «Флаттерландия», и именно из этого допущения я и буду далее исходить. Альберт Квадрат — рассудительный малый — не верил во всякую чушь о третьем измерении, до тех пор пока в один судьбоносный день через его плоскую вселенную не прошла сфера, с головой окунув его в реализм, в этой голове не умещавшийся.