Иэн Стюарт - Истина и красота. Всемирная история симметрии.

• Название: Истина и красота. Всемирная история симметрии.
• Автор: Иэн Стюарт
• Жанр: Математика

На протяжении многих веков симметрия оставалась ключевым понятием для художников, архитекторов и музыкантов, однако в XX веке ее глубинный смысл оценили также физики и математики. Именно симметрия сегодня лежит в основе таких фундаментальных физических и космологических теорий, как теория относительности, квантовая механика и теория струн. Начиная с древнего Вавилона и заканчивая самыми передовыми рубежами современной науки Иэн Стюарт, британский математик с мировым именем, прослеживает пути изучения симметрии и открытия ее основополагающих законов. Эксцентричный Джироламо Кардано — игрок и забияка эпохи Возрождения, первым решивший кубическое уравнение, гениальный невротик и революционер-неудачник Эварист Галуа, в одиночку создавший теорию групп, горький пьяница Уильям Гамильтон, нацарапавший свое величайшее открытие на каменной кладке моста, и, конечно же, великий Альберт Эйнштейн — судьбы этих неординарных людей и блестящих ученых служат тем эффектным фоном, на котором разворачивается один из самых захватывающих сюжетов в истории науки.

---

Как же сильно можно ошибаться…

Абель обнаружил препятствие к решению определенных уравнений пятой степени в радикалах. Он смог доказать, что это препятствие на самом деле не позволяет таким решениям существовать по крайней мере для некоторых уравнений пятой степени. Следующий шаг вперед — ось, вокруг которой крутится весь наш рассказ, — выпал на долю того, кто тщательно смотрел дареному коню в зубы и задавал вопросы, от которых математики не могут удержаться всякий раз, когда некоторая важная задача оказывается решена: «Да, все это очень здорово, но почему оно на самом деле работает?»

Такой подход может показаться несколько негативистским, но мы снова и снова убеждаемся в его ценности. Стоящая за этим философия заключается в том, что большинство математических задач слишком сложны для решения. Так что, когда кому-то удается решить нечто, что ставило в тупик всех предшественников, недостаточно просто отпраздновать великое решение. Или автору просто повезло (математики не слишком верят в везение такого типа), или же решение оказалось возможным по некоторым специальным причинам. И если удается понять причину… что ж, множество других задач могут оказаться разрешимыми с применением подобных же методов.

Так что, в то время как Абель шлифовал ответ на конкретный вопрос «Каждое ли уравнение пятой степени разрешимо?» — ответ, суть которого сводится к ясному «нет», — еще более глубокий мыслитель боролся с гораздо более общей проблемой: какие уравнения вообще можно решить в радикалах, а какие нет? Справедливости ради скажем, что Абель начал думать в этом направлении и мог бы даже найти ответ, если бы туберкулез пощадил его.

Человеком, которому предстояло изменить ход развития математических наук, был Эварист Галуа, и история его жизни — одна из наиболее драматичных и даже наиболее трагичных в истории математики. К тому же его потрясающие открытия едва не пропали.

Если бы Галуа не появился на свет или если бы его работы все-таки пропали, кто-нибудь, без сомнения, в конце концов сделал бы те же самые открытия. Пути многих математиков пролегали через эту область науки, порой на расстоянии всего шага от открытия. В некоторой альтернативной вселенной некто, обладающий талантами и проницательностью Галуа (а быть может, некий Нильс Абель, сумевший еще несколько лет противостоять туберкулезу), в конце концов добрался бы до того же круга идей. Но в нашей вселенной это был Галуа.

Он родился 25 октября 1811 года в Бург-ля-Рен — в те дни это была деревушка неподалеку от Парижа. Сейчас это пригород в департаменте О-де-Сен, на пересечении автострады №20 и трассы D60. Трасса D60 — это авеню Галуа. В 1792 году деревню Бург-ля-Рен переименовали в Бург-л'Эгалите, в духе политических потрясений того времени и сопутствующей им идеологии: «Город Королевы» заменили на «Город Равенства». В 1812 году старое название вернули, но в воздухе еще чувствовалась революция.

Отец — Николя-Габриэль Галуа — был убежденным республиканцем и вождем деревенской либеральной партии Liberté в городе Égalité, — которая видела свою основную задачу в устранении монархии. Когда в ходе наспех состряпанного компромисса 1814 года на трон вернули короля Людовика XVIII, Николя-Габриэль занял кабинет мэра города, где, учитывая его политические наклонности, ему вряд ли было комфортно.

Мать — Аделаид-Мари, урожденная Демант. Ее отец был стряпчим, то есть помощником адвоката, осуществлявшим ряд законно-правовых действий, однако без права самостоятельно вести практику; в его задачи входило формулировать мнения по поводу судебных дел. Аделаид-Мари свободно читала по-латыни и передала сыну свое классическое образование.

В течение первых двенадцати лет Эварист оставался дома, а его образованием занималась мать. Когда ему было десять, он мог поступить в коллеж в Реймсе, но мать, по-видимому, считала, что ему еще рано покидать дом. Однако в октябре 1823 года он начал посещать Коллеж Людовика Великого, который представлял собой подготовительную школу. Вскоре после того, как Эварист туда поступил, учащиеся отказались петь в школьной часовне, и юный Галуа своими глазами увидел судьбу потенциальных революционеров: добрую сотню учеников немедленно исключили. К сожалению для математики, это не послужило ему уроком.

По итогам двух лет обучения он был награжден первой премией по латыни. Однако латынь вскоре стала наводить на него тоску. В результате в школе потребовали, чтобы для улучшения успеваемости он прошел курс еще раз, но это, разумеется, навело на него тоску еще большую, и ситуация изменилась от плохой к худшей. От быстрой дороги к забвению Галуа спасла математика — этот предмет был в достаточной степени интеллектуально насыщен, чтобы пробудить в нем интерес. Но не любая математика: Галуа обратился прямо к классике — Лежандровым «Элементам геометрии». Это можно до некоторой степени сравнить с тем, как если бы современный студент-физик для начала принялся за чтение технических статей Эйнштейна. Но в математике имеется некоторый пороговый эффект, интеллектуальный переломный момент. Если студент в состоянии прорваться через несколько первых препятствий, вникнуть в особенности обозначений в данном предмете и проникнуться той мыслью, что лучший способ продвижения вперед — это понимать идеи, а не просто зазубривать их, — он или она может весело двигаться с попутным ветром в сторону все более замысловатых и манящих идей, тогда как чуть более ограниченный студент застрянет на геометрии равнобедренных треугольников.

О том, много ли приходилось Галуа трудиться над освоением основополагающей работы Лежандра, можно спорить, но, во всяком случае, эта работа его не отпугнула. Он начал читать технические статьи Лагранжа и Абеля; неудивительно, что его последующие работы находились в этой области интересов, в частности, в теории уравнений. Уравнения, похоже, были единственной вещью, владевшей вниманием Галуа. Остальная его школьная деятельность страдала в той же степени, в какой развивалось его увлечение работами математиков первой величины.

В школе Галуа был неопрятным — привычка, от которой он так никогда и не избавился. Он ставил своих учителей в тупик, решая задачи в уме вместо того, чтобы «показать, как он это сделал». Это пристрастие учителей математики, которое и сегодня огорчает многих способных молодых людей. Представьте себе, что случилось бы с подающим надежды молодым футболистом, если бы всякий раз, как он забьет гол, тренер требовал от него точной записи всех тактических шагов, которые он предпринял, а без этого гол бы не засчитывался. Такой последовательности шагов нет. Игрок увидел свободное пространство и отправил мяч именно туда, куда, как подтвердит всякий знаток игры, его и следовало отправить.

Нечто подобное имеет место со способными молодыми математиками.

Честолюбие заставляло Галуа замахиваться на большие цели: он хотел продолжать образование в одном из наиболее престижных учреждений Франции — Политехнической Школе, гнездовье французской математики. Однако же он пренебрег советом своего учителя математики, который старался научить молодого человека работать систематически, объяснять промежуточные шаги и вообще давать возможность экзаменаторам следовать за поворотами своей мысли. Крайне недоподготовленный и пагубно самонадеянный Эварист попытался сдать вступительные экзамены и провалился.

Двадцать лет спустя влиятельный французский математик Орли Теркем, издававший престижный журнал, предложил объяснение провалу Галуа: «Кандидат с более высоким интеллектуальным уровнем теряется, когда видит, что его экзаменатор глупее него: „Раз они меня не понимают, значит, это я — варвар“.» Современный комментатор, лучше осведомленный о том, что требуется для успешного общения, не будет столь критичен и ограничится замечанием, что студент с более высоким интеллектуальным уровнем должен понять, с кем он имеет дело. Собственной бескомпромиссностью Галуа не способствовал своему успеху.

Таким образом, Галуа остался в Коллеже Людовика Великого, где удача неожиданно ему улыбнулась. Учитель по имени Луи-Поль Ришар разглядел способности молодого человека, и Галуа записался на курс продвинутой математики, который тот вел. Ришар составил мнение, что Галуа настолько способный, что его следует принять в Политехническую школу без экзаменов. Весьма вероятно, Ришар примерно представлял себе, что будет, если Галуа придется сдавать экзамены. Нет свидетельств, что Ришар когда-либо высказывал свою точку зрения в Политехнической школе. Если и да, то там на нее не обратили внимания.

К 1829 году Галуа опубликовал свою первую исследовательскую работу — достаточно компетентную, но скучноватую статью о непрерывных дробях. Куда большие цели он ставил перед собой в неопубликованной работе — внести фундаментальный вклад в теорию уравнений. Он оформил некоторые из своих результатов и отправил их во Французскую академию наук, чтобы там рассмотрели возможность их публикации в своем журнале. Тогда, как и сейчас, каждую посланную для публикации статью отправляли рецензенту — специалисту в соответствующей области, — и он высказывал рекомендации относительно новизны, значимости и целесообразности публикации работы. В данном случае рецензентом был Коши — в то время, вероятно, ведущий французский математик. Поскольку он сам имел публикации в области, близкой к теме статьи Галуа, его выбор в качестве рецензента представлялся естественным.