Борис Розенфельд - Пространства, времена, симметрии. Воспоминания и мысли геометра

• Название: Пространства, времена, симметрии. Воспоминания и мысли геометра
• Автор: Борис Розенфельд
• Жанр: Биографии и Мемуары

Книга, название которой подсказано книгой Вейля - это воспоминания и мысли геометра и математика Бориса Абрамовича Розенфельда, который интересовался вопросами истории науки и философии, побывал во многих странах и встречался со многими людьми.

Книга состоит из 18 глав, первые 15 из которых являются воспоминаниями, в последних 3 главах изложены мысли геометра, историка и философа.

---

Во многих трудах Аристотеля цитируются недошедшие до нас сочинения Пифагора и Демокрита.

Евклид

Евклид (ок. 365 - ок.300 до н.э.) в своих "Началах" подвел итог античной элементарной геометрии и теории чисел. Когда Евклид закончил работу над этой книгой, он преподнес один экземпляр египетскому царю Птолемею I, в столице которого Александрии он работал. Царь перелистал книгу с непонятными для него чертежами и спросил Евклида: "Нет ли более короткого пути в науку, хотя бы для царя?". "Нет, - ответил Евклид, - нет царского пути в науку".

В Советском Союзе были очень популярны слова Маркса из его предисловия к французскому изданию "Капитала". Эти слова печатались на обложках тетрадей и были написаны на многих плакатах, висевших во всех школах и вузах : "К науке не ведет широкая столбовая дорога, и только тот может расчитывать достичь ее сияющих вершин, кто, не страшась трудов, карабкается по ее каменистым тропам". Перевод этот был сделан В.И.Лениным в одной из его статей. Во французском оригинале предисловия Маркса первые слова этого отрывка звучат так: "Il n'y a pas le roite royal pour la science", - "Нет царского пути в науку", т.е. Маркс процитировал слова Евклида. Ленин не знал этих слов Евклида и он перевел слова "царский путь" как "королевскую дорогу", которую он считал "широкой столбовой дорогой ".

Б.Л..Ван дер Варден доказал, что 13 книг "Начал" Евклида являются обработками сочинений греческих математиков IV века до н.э. На основе сочинений Гиппократа Хиосского составлены I книга об основах планиметрии, II книга о геометрической алгебре, III книга о кругах, IV книга о правильных многоугольниках и XI книга об основах стереометрии. На основе сочинений Евдокса составлены V книга о теории отношений геометрических величин, VI книга о подобии плоских фигур и XII книга о площадях и объемах.На основе сочинений пифагорейцев составлены VII-IX книги о теории чисел На основе сочинений Теэтета составлены X книга о квадратичных иррациональностях и XIII книга о правильних многогранниках.

Сочинение Гиппократа восходит к недошедшему до нас математическому сочинению Демокрита. Явно демокритовский характер носит I определение "Начал" - "Точка - то, что не имеет частей".

Однако в целом книга Евклида основана на математических принципах Аристотеля и содержит теорему о том, что любой отрезок может быть разделен пополам. По-видимому, восходит к принципу Аристотеля и V постулат Евклида.

"Оптика" Евклида была основана на представлении о зрительных лучах, выходящих из глаза и "ощупывающих" видимые предметы. Само слово "оптика" происходит от греческого слова opsis - "зрительный луч". Сравнивая "Оптику" и "Начала" Евклида я убедился, что "Оптика" основана не на учении Аристотеля, а на учении Демокрита.

Архимед

Величайшим ученым древности являлся Архимед (ок. 290-212 до н.э.) он был и математиком и механиком и физиком и инженером. Я рассматривал многие сочинения Архимеда. Если Евклид для круглых фигур и тел определял только отношения их площадей и объемов, Архимед нашел площадь круга, объем шара и объемы других круглых тел. Архимед также определил площадь сегмента параболы и решил ряд других задач, которые в настоящее время решаются с помощью интегрального и дифференциального исчислений. Я рассмотрел в книге Архимеда "Леммы" задачу об арбелоне, т.е. фигуре, полученной из полукруга с диаметром a+b удалением из него двух полукругов с диаметрами a и b, которые являются отрезками диаметра большего полукруга. Архимед нашел, что площадь арбелона равна площади круга, диаметром которого является перпендикуляр восставленный к диаметру большего полукруга в точке касания малых полукругов. Я доказал, что эта задача равносильна теореме геометрической алгебры о разбиении квадрата со стороной a+b на два квадрата с площадями a2 и b2 и два прямоугольника с площадями ab, так как площади полукругов равны, соответственно, n(a+b)2/8, na2/8 и nb2/8, a площадь круга равного арбелону равна nab/4. Во время осады римлянами Сиракуз, где жил Архимед, он был душей обороны города и его технические ухищрения наводили ужас на римлян. В частности, Архимед сжигал корабли римлян, выстраивая солдат с медными щитами таким образом, что их щиты образовывали часть поверхностьи параболоида вращения, ось которого была направлена на Солнце, а фокус был в том месте, где находился римский корабль. Недавно греческий инженер Иоаннис Сакас воспроизвел сожжение корабля по методу Архимеда. Сожжение римских кораблей показывает, что Архимеду были известны фокальные свойства параболы и параболоида вращения. На могиле Архимеда в Сиракузах был поставлен камень, на котором выгравировано изображение цилиндра с вписанными в него конусом и шаром. Этот чертеж относится к одному из самых замечательных математических достижений Архимеда - выводу формулы объема шара. В своем послании к Эратосфену Архимед рассматривал прямой круговой цилиндр, высота которого равна радиусу его основания. Обозначим диаметр шара буквой D. В цилиндр вписаны прямой круговой конус, основание которого совпадает с нижним основанием цилиндра, а вершина - с центром А его верхнего основания, и шар, полюсы которого совпадают с центрами А и В верхнего и нижнего оснований цилиндра. Сечения этих трех тел плоскостью параллельной основаниям цилиндра на расстоянии х от точки А равны, соответственно, nD2, nx2 и nx(D-x). Архимед рассматривал эти сечения как материальные пластинки, веса которых равны их площадям. Он заметил, что если перенести сечения конуса и шара в точку С оси цилиндра, находящуюся на расстоянии D выше точки А, а сечение цилиндра оставить на месте и рассматривать линию САВ как рычаг с точкой опоры А, то моменты сечений цилиндра, конуса и шара будут равны, соответственно, nD2x, nDx2 и nD2x-nDx2. Поэтому перенесенные сечения конуса и шара будут уравновешивать сечение цилиндра. Архимед считал, что если равновесие имеет место для весов отдельных сечений, оно будет иметь место и для сумм этих весов. Суммой весов сечений тела Архимед считал вес всего этого тела, т.е. его объем. Если мы обозначим объемы цилиндра, конуса и шара, соответственно, Vц, Vk, и Vш, то сумма моментов перенесенных сечений равна VкD+VшD, a сумма моментов сечений цилиндра равна произведению его объема на расстояние от точки А до его центра тяжести, т.е. VuD/2. Taк как V,<=V4/3, мы получаем, что v^vu/2-v4/3=vu/6 или, так как Vц=nD3, Vш=nD3/6. Если обозначить D =2R, мы можем переписать последнюю формулу в виде Vш = (4/3)nR3. Рассуждения Архимеда напоминают рассуждения Демокрита, но сечения тел у Архимеда не имеют конечной толщины, как у Демокрита, и между ними нет конечных расстояний, как у Пифагора. Поэтому у Архимеда сечения, из которых состоят тела больше похожи не на атомы античных атомистов, а на элементы множеств современной теоретико-множественной математики.

Аполлоний

Самым блестящим математиком античности был Аполлоний Пергский (ок. 250 - ок.175 до н.э.). Я изучал его труды еще в Москве при подготовке "Хрестоматии по истории математики" и позже, когда я рассматривал происхождение стереографической проекции и инверсии относительно конических сечений. Более интенсивно я стал изучать труды Аполлония в Стейт Колледже всвязи с руководством мастерской и докторской диссертациями моей аспирантки Д.Родс.

Я упоминал, что предки Аполлония были жрецами бога Аполлона, и потомками жрецов хеттского бога Апулунаша, святилище которого находилось в Перге.

С культом Аполлона связано появление конических сечений: греки считали, что Аполлон родился на острове Делас. Однажды, согласно легенде на этом острове разразилась эпидемия чумы, и его жители, обратились к жрецам бога Аполлона, считавшегосяся покровителем медицины, с просьбой помочь им. Жрецы сказали, что надо удвоить кубический алтарь в святилище Аполлона. Делийцы изготовили второй кубический алтарв и поставили его на первый, но эпидемия не прекратилась. Тогда жрецы сказали, что удвоенный алтарь также должен иметь форму куба, т.е. ребро х нового куба должно быть связано с ребром а первоначального куба соотношением х3=2а3. Эту задачу решил в IV в. до н.э. греческий математик Менехм с помощью пересечения двух парабол y2=2аx и x2=аy, где величена х равна абсциссе точки пересечения этих парабол.Менехм определял параболу как сечение поверхности прямого кругового конуса с прямым углом при вершине плоскостью перпендикулярной одной из прямолинейных образующих конуса и называл параболу "сечением прямоугольного конуса". Менехму приписывают также открытие других конических сечений гиперболы и эллипса - "сечение тупоугольного конуса" и "сечение остроугольного конуса".

Коническим сечениям были посвящены не дошедшие до нас сочинение Аристея "О телесных геометрических местах" и "Начала конических сечений" Евклида, а таже несколько сочинений Архимеда. Архимед определил также "сфероиды" - эллипсоиды вращения, "тупоугольный коноид"- одну полость двуполостного гиперболоида вращения и "прямоугольный коноид" - параболоид вращения.