Леопольд Инфельд - Эварист Галуа (Избранник богов)

• Название: Эварист Галуа (Избранник богов)
• Автор: Леопольд Инфельд
• Издательство: Издательство ЦК ВЛКСМ "Молодая гвардия"
• Жанр: Биографии и Мемуары
• Год: 1960

Книга Леопольда Инфельда рассказывает удивительную историю Эвариста Галуа, который в возрасте двадцати лет отдал жизнь за Французскую республику. В ночь накануне гибели он написал несколько страниц алгебраических уравнений, сделавших его одним из величайших математиков всех времен.

Короткая жизнь Галуа была полна героизма, страданий и обманутых надежд. Его почти дерзкая уверенность в собственном необычайном математическом даровании стала причиной того, что преподаватели преследовали его, а ученые игнорировали. Исключенный из школы за свой неукротимый республиканский дух, он был затем брошен в тюрьму и, наконец, стал жертвой дуэли, подстроенной его политическими противниками.

Когда Галуа умер, он был известен только как неистовый республиканец, ненавидевший тиранию и боровшийся за Францию и свободу. Но бессмертия Галуа достиг тем, что успел написать за тринадцать часов до смерти и что ныне ученые исследуют как «группу Галуа», «поле Галуа», «теорию Галуа».

С биографией Галуа искусно переплетается рассказ о Франции XIX века — Франции после поражения Наполеона, во время реставрации Бурбонов; Франции Гюго, Дюма, Делакруа; рассказ о бурных днях июльской революции 1830 года, в которой Эварист Галуа сыграл столь трагическую роль.

Книга адресована самому широкому кругу читателей, но и математик найдет в ней для себя много интересного.

---

На других уроках, в каждый свободный момент этого дня он читал, поглощая теоремы, по-своему доказывая их, по-своему рассуждая. В день, когда он начал читать Лежандра, он дошел до «Книги IV. О правильных многоугольниках и окружностях».

Встретилась задача: «Найти окружность, которая как можно меньше отличалась бы от данного правильного многоугольника».

Он подумал: «Что это за число π?»

Ища ответа, он обратился к напечатанным мелким шрифтом замечаниям для особо успевающих студентов. Там он нашел доказательство того, что отношение длины окружности к диаметру, а также квадрат этого отношения — иррациональные величины. Читать стало труднее. Ему встретились новые знаки, такие, как tgx, значение которого было ему неизвестно. Он перешел к последней части книги Лежандра — «Трактату о тригонометрии», где давалось определение этому и другим тригонометрическим символам.

Когда в четверть десятого вечера во всех спальнях потушили свет, Эварист лежал на кровати с открытыми глазами, глядя в пространство. Он ясно видел все теоремы, с которыми познакомился за день. Появились геометрические фигуры, их перечеркнули уравнения, растянувшиеся во все стороны. Какая-то новая теорема настойчиво требовала, чтобы он доказал ее. Мир рассуждений и мир снов смешались в причудливом переплетении рассудка и воображения, где люди были похожи на формулы, а теоремы — на живые существа. Эварист пытался разделить для себя эти два мира, но так и не смог помешать им сливаться воедино всю ночь напролет, всю бессонную и радостно-тревожную ночь.

На другое утро он опять читал Лежандра. Впервые с тех пор, как поступил в Луи-ле-Гран, он не думал про отца, не чувствовал запаха сена, не слышал колокольного перезвона в Бур-ля-Рен. Его мозг горел новым пламенем, потушить которое могла только смерть. В два дня он кончил книгу Лежандра, рассчитанную на два года учения. Он знал в ней все. Знал и то, что познанное им останется и будет расти у него в голове до последнего дня его жизни.

На уроке математики к Эваристу обратился профессор Вернье:

— Вы в этом классе новичок.

Эварист встал с места. Взгляд у мсье Вернье был усталый, но приветливый.

— Это для вас новая дисциплина. Она может вначале показаться вам трудной. Вам понадобится время, чтобы привыкнуть к ней. Я предоставлю вам, скажем, месяц сроку, а потом проверю вас.

Эварист стоял молча, уставившись профессору в лицо. Мсье Вернье взглянул на него с нетерпением.

— Как вы думаете, вам хватит месяца?

— Да, мсье.

Мсье Вернье начал урок. Темой его были правильные вписанные и описанные многоугольники. Большинство студентов, казалось, скучали. Голос преподавателя звучал тускло и невыразительно. Он повторял теоремы в том же виде, как они были представлены в книге Лежандра. При доказательстве он применял те же обозначения, те же рассуждения, по нескольку раз повторяя одно и то же. Преподаватель переносил рисунки из книги на доску, а ученики — с доски в тетради. Им задавали вопросы, и они повторяли фразы, услышанные от преподавателя, — те самые, которые были напечатаны в книге Лежандра. Чаще всего они учили эти теоремы, как заучивают латинские или греческие стихи, — механически повторяя их и не стараясь раскрыть содержание.

Эварист видел, что здесь выхолащивают самую душу геометрии, оставляя лишь безжизненный остов, набор скучных, бессмысленных фраз, зазубриваемых изо дня в день. Он видел, с каким непревзойденным мастерством школа ухитряется превратить красоту в скуку, разумное рассуждение — в догму, греческий храм — в груду камней.

В библиотеке лицея царила разруха. Окна не закрывались, освещение было скверным, стены и книги — сырыми. Лишь немногие ученики пользовались этой библиотекой, где находились многочисленные ценные труды по латыни, греческому и истории, но всего горсточка книг по математике.

Когда Эварист выбрал «Решение численных уравнений» Лагранжа, библиотекарь попробовал пошутить:

— Вам известно правило: книгу можно держать только восемь дней. Вы что, собираетесь кончить ее за восемь дней?

— Постараюсь.

Во введении он прочел определение алгебры:

«Алгебра в широком значении слова — это искусство определения неизвестных величин посредством функций известных или принимаемых за известные, а также искусство нахождения общих решений уравнений. Такое решение заключается в нахождении для всех уравнений одной и той же степени таких функций коэффициентов алгебраических уравнений, которые могут представлять собой их корни. В настоящее время эти функции найдены только для уравнений первой, второй, третьей и четвертой степени…»

Он прочел книгу Лагранжа не так быстро, как книгу Лежандра. Впечатления его были противоречивы. Как ни увлек его этот великий труд, он оставил у него и чувство неудовлетворенности, возраставшее с каждой прочитанной страницей. В геометрии он ясно видел общее построение, здесь — нет. И он знал, что не видит его, потому что его не существует. В здании геометрии видны были стиль, гармония, красота. Алгебра же была странным сочетанием построек различных стилей, большинство из которых было лишь заложено, и ни одно не завершено. За нагромождением построек не чувствовалось замысла великого зодчего.

Он старался определить причину своего недовольства. Думал об основной задаче алгебры — задаче решения алгебраических уравнений.

Алгебра, то есть элементарная алгебра, была порождена именно этой задачей. Истоки ее восходят к давним временам. Современная алгебра, с ее обширным полем исследований сегодняшнего дня, тоже зародилась из этой задачи, и истоки ее восходят к работе Галуа.

Итак, решение уравнения может быть либо легкой задачей, известной еще в античные времена; либо трудной задачей, с которой справились в период Возрождения, либо, в каком-то смысле, как это признавали Абель и Галуа, неразрешимой задачей.

Сказать, что если 2x-1=0, то x=1/2, это значит решить уравнение столь незначительное, что оно вряд ли достойно этого названия. Отсюда можно подняться ступенькой выше, к уравнению второй степени, подобному x2-5x+6=0. Здесь нам тоже требуется число (или числа), которые, заменив х, удовлетворят условиям этого уравнения. Другими словами, мы находим корни этого уравнения. Действительно, вставьте в уравнение число 2 или число 3 вместо х, и вы увидите, что любая эта цифра подходит к уравнению x2-5x+6=0 (x2 означает x раз x; 5x означает 5 раз x).

Даже изучение этих сравнительно простых уравнений второй степени повело к далеко ведущему открытию мнимых и комплексных чисел.

Легко возразить: «Это тонкая паутина абстрактных понятий, умозрительных задач, весьма далеких от нашей обычной жизни». Однако уравнение второй степени приводит нас к комплексным числам — повседневному орудию инженеров и физиков. Из размышлений математика, из абстрактной нити его рассуждений возникли современная наука, современная техника.

В уравнении 2x-1=0 числа 2 и 1 являются коэффициентами. Мы находим решение этого очень простого уравнения, разделив один на два. Подобным образом в уравнении x2-5x+6=0 числа 1, -5, 6 — тоже коэффициенты. Корни этого уравнения можно найти, проделав с этими коэффициентами определенные действия. В самом деле, мы помним, что этими корнями были 2 и 3. Числа 2 и 3 могут быть найдены действиями вот таких простых формул:

Этими формулами можно воспользоваться, если знать коэффициенты, над которыми нужно совершать действия. В случае уравнения второй степени они еще достаточно просты, хотя значительно сложнее, чем для уравнений первой степени.

Некоторые алгебраические уравнения можно решить в радикалах. Это значит, что можно найти их решение конечным числом действий, совершаемых с коэффициентами алгебраических уравнений. Такими действиями являются рациональные действия (сложение, вычитание, умножение, деление) и извлечение корней. Если существует решение, которое можно достигнуть этими действиями, мы говорим, что уравнение можно решить в радикалах.

Уравнение первой степени — это пустяк. Уравнение второй степени несложно. При решении уравнений третьей степени возникают трудности, но это посильная задача, и она была разрешена почти за триста лет до того, как Галуа появился на свет. Корни, иными словами, решение уравнения третьей степени, можно найти путями, известными каждому математику: задача может быть сведена к уже известной — к решению уравнения второй степени. В математике этот прием используется постоянно: решение новой задачи сводится к уже известному решению старой. Подобным же образом алгебраическое уравнение четвертой степени может быть решено в радикалах, ибо задача его решения может быть сведена к задаче решения алгебраического уравнения третьей степени, а оно известно.