Генри Дьюдени - Пятьсот двадцать головоломок

• Название: Пятьсот двадцать головоломок
• Автор: Генри Дьюдени
• Издательство: Мир
• Жанр: Математика
• Год: 1975

Генри Э. Дьюдени по праву считается классиком занимательной математики. Многие его задачи, породив обширную литературу и вызвав многочисленные подражания, вошли в ее золотой фонд.

В предлагаемой книге собрано 520 задач и головоломок Дьюдени по арифметике, алгебре, геометрии, разрезанию и составлению фигур. Читателя ждет встреча с постоянно действующими героями Дьюдени — семейством Крэкхэмов, профессором Рэкбрейном и др.

Книга доставит удовольствие всем любителям занимательной математики.

---

423. Коварная головоломка. Один неразборчивый в средствах делец предложил 100 долларов за правильное решение следующей головоломки. Узник, приговоренный к пожизненному заключению, обратился к королю с просьбой о помиловании. Не желая оказать ему эту милость, но и не ответив отказом, король предложил помиловать узника, если тот, отправляясь из камеры А, побывает в каждой камере тюрьмы и возвратится опять в А, не заходя дважды ни в одну из камер. Сам делец либо не располагал решением головоломки, либо намеревался выйти из положения с помощью какого-нибудь трюка.

Какой наилучший ответ мог бы предложить читатель, чтобы выполнить условия головоломки как можно точнее?

424. Посадка деревьев. Один человек посадил 13 деревьев так, как показано на рисунке. В результате у него получилось 8 рядов, по 4 дерева в каждом. Однако ему не нравилось, как посажено второе дерево в горизонтальном ряду. Свои чувства по этому поводу он сформулировал довольно туманно, сказав, что «оно отлынивает там от работы и вообще ведет себя как изрядный лентяй». Второе дерево в горизонтальном ряду действительно было «из ряда вон выходящим», поскольку его единственное назначение состояло в том, чтобы заполнить второй ряд. Поэтому человек решил пересадить деревья получше и через некоторое время обнаружил, что сможет посадить их в 9 рядов, по 4 дерева в каждом.

Может ли читатель показать, как это делается?

425. Двадцать монет. Если 16 одинаковых монет расположить в виде квадрата, то в каждой строке, в каждом столбце и на каждой из двух больших диагоналей будет находиться одинаковое число монет.

Нельзя ли сделать то же самое с 20 монетами?

426. Пересадка деревьев. У одного человека была плантация из 22 деревьев, посаженных так, как показано на рисунке.

Каким образом ему следовало пересадить 6 из них, чтобы они образовали 20 рядов по 4 дерева в каждом?

427. Головоломка с колышками. На рисунке изображена квадратная доска из красного дерева с 49 отверстиями. В 10 отверстий вставлено 10 колышков.

Головоломка состоит в том, чтобы переставить 10 колышков в другие отверстия так, чтобы всего получилось 5 рядов колышков по 4 колышка в каждом.

Какие 3 колышка следует переместить и куда?

428. Пять прямых с четырьмя фишками. На рисунке показано, как можно расположить 10 фишек в точках пересечения сплошных линий, чтобы они при этом оказались лежащими на 5 прямых (отмеченных пунктиром) по 4 фишки на каждой.

Можете ли вы найти второе решение?

Разумеется, решение, которое можно получить из данного при отражении, не считается отличным от исходного. Требуется найти совершенно новую схему расстановки фишек и, разумеется, не увеличивать размеры «клетчатого участка».

429. Порядок боевых кораблей. Боевые корабли встали на якорь, как показано на рисунке. Головоломка состоит в том, чтобы передвинуть 4 корабля на новые позиции (оставив остальные там, где они стоят) так, чтобы все 10 кораблей образовали 5 прямых по 4 корабля на каждой.

Как должен поступить адмирал?

430. Головоломка с созвездием. Группу звезд, изображенную на рисунке, очень трудно обнаружить в самую ясную ночь по той простой причине, что она... невидима. 21 звезда этого созвездия образует 7 прямых по 5 звезд на каждой.

Не могли бы вы изменить расположение звезд так, чтобы они образовали 11 прямых по 5 звезд на каждой? Существует много решений этой головоломки. Попытайтесь найти симметричное.

431. Проблема четырех красок. Проблема четырех красок формулируется очень просто. Нужно доказать, что для раскраски любой карты достаточно не более четырех красок, если все сопредельные страны должны быть выкрашены в разные цвета. Страны, у которых общий участок границы состоит из одной точки (как у голубых Г и желтых Ж в точке а), не считаются сопредельными[23]. Если бы граница вместо са проходила по участку cb, то две желтые страны Ж оказались бы сопредельными, но тогда мы могли бы перекрасить, например, внешнюю желтую страну Ж в зеленый цвет, и все оказалось бы снова в порядке: желтая страна Ж на нашей карте могла бы с успехом быть и зеленой З.

Я приведу в сжатой форме мое собственное доказательство, которое некоторые математики считают вполне приемлемым. Однако кое-кто полагает, что в нем имеются «пробелы». Доказательство дается в такой форме, которую может понять каждый. Однако следует помнить, что одно дело быть убежденным в чем-то, и совсем другое — дать этому строгое доказательство.

432. Раскрашивание карты. Однажды утром полковник Крэкхэм попросил своего юного сына раскрасить все 26 районов карты, изображенной на рисунке, так, чтобы любые два прилегающих друг к другу района имели разные цвета. Молодой человек с минуту смотрел на карту, а затем сказал:

— В моем ящике не хватит одной краски.

Оказалось, что он прав. Сколько у него было красок? Пользоваться черной и белой красками ему не разрешалось.

433. Подаренные картины. У богатого коллекционера было 10 ценных картин. Ему захотелось сделать одному музею подарок, но коллекционер никак не мог сообразить, сколькими вариантами подарка он располагает: ведь подарить можно любую одну картину, любые две, любые три картины и т. д., можно даже подарить все десять картин.

Читатель, быть может, думает, что для ответа на этот вопрос потребуется долгий и утомительный подсчет; однако я приведу одно небольшое правило, позволяющее дать ответ во всех подобных случаях безо всяких трудностей и неблагодарной работы.

434. Выборы в парламент. Сколько существует разных способов, которыми можно избрать 615 членов парламента если имеются всего четыре партии: консерваторов, либералов, социалистическая партия и партия независимых? Мандаты могут распределяться, например, так: консерваторы — 310, либералы — 152, социалисты — 150, независимые — 3. Возможны и другие варианты: консерваторы — 0, либералы — 0, социалисты — 0, независимые — 615 или консерваторы — 205, либералы — 205, социалисты — 205, независимые — 0 и т. д. Кандидатов от каждой партии мы не различаем, поскольку для нас важно только общее количество кандидатов.

435. Скамья магистрата. Один мой приятель из Сингапура попросил меня некоторое время назад решить следующую задачу. На скамье одного магистрата (где именно, неизвестно) занимают места два англичанина, два шотландца, два уэльсца, один француз, один итальянец, один испанец и один американец. Англичане не хотят сидеть рядом, шотландцы не хотят сидеть рядом и уэльсцы тоже не желают сидеть рядом друг с другом.

Сколькими различными способами могут разместиться на скамье эти 10 человек так, чтобы никакие два человека одной и той же национальности не сидели рядом?

436. Переправа. Шесть родственников должны переправиться через реку в небольшой лодке, вмещающей одновременно только двоих. Мистер Вебстер, руководивший переправой, поссорился со своим тестем и сыном, кроме того, как ни прискорбно, но я должен заметить, что миссис Вебстер не разговаривает со своими матерью и невесткой. Отношения между ними столь натянуты, что не безопасно позволить враждующим сторонам вместе переправляться или вместе оставаться на одном и том же берегу реки. Кроме того, дабы предотвратить дальнейшие разногласия, ни одного мужчину нельзя оставлять с двумя женщинами или двух мужчин с тремя женщинами.

Как почтенному семейству перебраться на противоположный берег за возможно меньшее число рейсов? Никаких уловок вроде использования веревки или переправы на другой берег вплавь не допускается.

437. Миссионеры и каннибалы. Существует один необычный рассказ о трех миссионерах и трех каннибалах, которые должны были переправиться через реку в небольшой лодке, вмещающей одновременно только двух человек. Будучи наслышаны о вкусах каннибалов, миссионеры не могли позволить себе роскошь остаться на каком-нибудь берегу реки в меньшинстве. Только один из миссионеров и один из каннибалов умели грести.

Каким образом им удалось переправиться?

438. Бегство через реку. Во время бегства турецких войск при Трейсе небольшой отряд оказался на берегу широкой и глубокой реки. Здесь обнаружили лодку, в которой катались два мальчика. Лодка была такой маленькой, что могла выдержать только двоих детей или одного взрослого.

Каким образом офицер сумел переправиться вместе со своими 357 солдатами через реку, вернув в конце переправы лодку мальчикам? Сколько раз пришлось лодке проплыть от берега до берега?

439. Соревнования по гольфу[24]. Меня попросили составить таблицу соревнований по американскому гольфу. Условия соревнований таковы: