Джон Дербишир - Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике.

• Название: Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике.
• Автор: Джон Дербишир
• Издательство: Астрель: CORPUS
• Жанр: Математика
• Год: 2010
• ISBN: 978-5-271-25422-2

Сколько имеется простых чисел, не превышающих 20? Их восемь: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 и 19. А сколько простых чисел, не превышающих миллиона? Миллиарда? Существует ли общая формула, которая могла бы избавить нас от прямого пересчета? Догадка, выдвинутая по этому поводу немецким математиком Бернхардом Риманом в 1859 году, для многих поколений ученых стала навязчивой идеей: изящная, интуитивно понятная и при этом совершенно недоказуемая, она остается одной из величайших нерешенных задач в современной математике. Неслучайно Математический Институт Клея включил гипотезу Римана в число семи «проблем тысячелетия», за решение каждой из которых установлена награда в один миллион долларов. Популярная и остроумная книга американского математика и публициста Джона Дербишира рассказывает о многочисленных попытках доказать (или опровергнуть) гипотезу Римана, предпринимавшихся за последние сто пятьдесят лет, а также о судьбах людей, одержимых этой задачей.

---

Слова «Гильберт» и «Геттинген» связаны друг с другом в головах современных математиков столь же тесно, как в других сферах связаны «Джойс» и «Дублин», «Джонсон» и «Лондон».[97] Гильберт и Геттинген играли ведущую роль в математике в течение первой трети XX века — не просто в немецкой математике, а в математике как таковой. Швейцарский физик Пауль Шеррер, студентом приехав в Геттинген в 1913 году, сообщал об обнаружении там «интеллектуальной жизни непревзойденной интенсивности». Необычайно большая доля видных математиков и физиков первой половины столетия училась или в Геттингене, или под руководством кого-то, кто сам там учился.

Относительно личности Гильберта до нас доходят несколько разнородные впечатления. Будучи вполне светским человеком, он был увлеченным танцором и пользовался популярностью как преподаватель. Не чуждался он и погони за юбками — в той весьма ограниченной степени, какая вообще была возможна в провинциальной Германии времен Вильгельма. (Впрочем, нельзя сказать, чтобы эта погоня заводила его достаточно далеко.) В нем была бунтарская жилка: похоже, он тяготился жесткой расписанностью университетской жизни, обычаями, правилами и общественными установлениями. Одна профессорская жена пришла в ужас, узнав, что Гильберта видели в дальней комнате одного из городских ресторанов, играющим в бильярд с младшими преподавателями. Когда во время Первой мировой войны университет отказался предоставить Эмми Нетер постоянную преподавательскую позицию на том основании, что она женщина[98], Гильберт просто-напросто объявил, что прочитает курс лекций, а затем предоставил Нетер их чтение. Он, по-видимому, был мягким экзаменатором, всегда готовым истолковать сомнение в пользу экзаменуемого.

И все же трудно избавиться от впечатления, что Гильберт был человеком, которому нелегко давалась терпимость к глупцам — категории, к которой он относил весьма значительную часть человечества. Для Гильберта это было тем более печально, что его единственный ребенок, Франц, страдал от серьезного умственного расстройства. Не в состоянии ни изучить как следует какой бы то ни было предмет, ни постоянно работать на одной и той же работе, Франц страдал еще и периодическими приступами паранойи, после которых в течение некоторого времени его приходилось содержать в лечебнице для душевнобольных. Зафиксировано высказывание Гильберта во время первого из этих заточений: «С этого момента мне придется считать, что у меня нет сына».

Как бы то ни было, Гильберт пользовался уважением своих студентов и коллег-математиков. Про него имеется обширное собрание анекдотов, по большей части незлых. Вот только три. Первый касается Гипотезы Римана и взят из англоязычной биографии, написанной Констанс Рид[99]:

У Гильберта был студент, который однажды показал ему работу, претендующую на доказательство Гипотезы Римана. Гильберт тщательно изучил работу; на него произвела большое впечатление глубина аргументации. Но, увы, он обнаружил там ошибку, которую даже он сам не смог устранить. На следующий год студент умер. Гильберт попросил у охваченных горем родителей разрешения выступить с речью на похоронах. Родственники и друзья студента рыдают под дождем возле могилы; Гильберт выходит вперед. Он начинает со слов о том, какая это большая трагедия, что такой одаренный молодой человек умер прежде, чем ему представилась возможность продемонстрировать, чего он в состоянии достичь. Но, продолжает Гильберт, несмотря на то что предложенное этим молодым человеком доказательство Гипотезы Римана содержало ошибку, возможно тем не менее, что однажды доказательство этой знаменитой проблемы будет получено именно на том пути, который наметил покойный. «И в самом деле, — с энтузиазмом продолжал Гильберт, стоя под дождем возле могилы студента, — рассмотрим функцию одной комплексной переменной…»

Второй анекдот я позаимствовал из книги «Универсальный компьютер» Мартина Дэвиса.

Гильберт каждый день появлялся в порванных брюках, что многих смущало. Задачу тактично сообщить Гильберту об этом возложили на его ассистента Рихарда Куранта. Зная о том, какое удовольствие Гильберту приносят длинные прогулки по пересеченной местности, сопровождаемые разговорами о математике, Курант пригласил его пройтись. Устроив при этом так, что им пришлось продираться через заросли колючих кустов, Курант тогда и сказал Гильберту, что тот, похоже, порвал свои брюки об один из таких кустов. «Да нет же, — ответил Гильберт, — они такие уже не одну неделю, хотя никто этого и не замечает».

Третий анекдот апокрифичен, хотя, весьма вероятно, правдив.

Один из студентов Гильберта перестал появляться на занятиях. Поинтересовавшись причиной этого, Гильберт получил ответ, что студент ушел из университета, решив стать поэтом. «Не могу сказать, что я удивлен. Мне всегда казалось, что у него недостаточно воображения, чтобы стать математиком».

Гильберт, между прочим, не был евреем, хотя имя, которым он был наречен, необычное среди немецких христиан, навлекло на него подозрения при Гитлере. Предки Гильберта по отцовской линии относились к фундаменталистской протестантской секте, называемой пиетистами, которые питали пристрастие к Ветхому Завету и к именам-наставлениям. Деда Гильберта звали ни много ни мало Давид Фюрхтеготт Леберехт (т.е. Бойся Бога Живи Праведно) Гильберт.

II.

Констанс Рид так описывает Гильберта во время его выступления на конгрессе 1900 года:

Человеку, который вышел в то утро к трибуне, не было еще сорока; среднего роста и сложения, жилистый, быстрый в движениях, с выступающим высоким лбом, лысый, с отдельными клоками все еще рыжеватых волос. Очки твердо сидели на крупном носу. У него была небольшая борода, растущие в легком беспорядке усы, а под ними рот, неожиданно широко очерченный для столь аккуратного подбородка. Яркие глаза глядели невинно, но твердо из-под сверкающих линз очков.

Гильберт выступил со своим докладом, сделанным по-немецки, в душном актовом зале Сорбонны. Всего на конгрессе было 250 участников, но вряд ли все они присутствовали на выступлении Гильберта утром 8 августа.

Его доклад был озаглавлен «Математические проблемы». Слова, которыми он открывался, стали так же близки математикам XX столетия, как Геттисбергская речь — американским школьникам.[100] «Кто из нас не хотел бы приоткрыть завесу, за которой скрыто наше будущее, чтобы хоть одним взглядом проникнуть в предстоящие успехи нашего знания и тайны его развития в ближайшие столетия?» Гильберт продолжал говорить о том, как важны трудные проблемы, которые концентрируют внимание математиков, способствуя созданию новых направлений развития и новых знаковых систем, и которые также ведут математиков ко все более и более высоким уровням обобщения. Он закончил выступление списком из 23 проблем, «исследование которых может значительно стимулировать дальнейшее развитие науки».

Мне хотелось бы отправиться с вами в обзорное путешествие по 23 проблемам Гильберта.[101] Но тогда эта книга станет недопустимо длинной. А кроме того, имеется обширная, приспособленная к различным уровням понимания литература, с помощью которой такое путешествие осуществимо.[102] Я лишь замечу попутно, что самая первая из проблем Гильберта относилась к упоминавшейся в предыдущей главе континуум-гипотезе, которая посвящена самой сути запутанного вопроса о природе вещественных чисел и возражениям, выдвигавшимся против них Кронеккером. О континуум- гипотезе также имеется обширная литература. Хорошая библиотека или хороший интернет-поисковик вполне удовлетворят любопытство любого, кто захочет обратиться к этой завораживающей задаче.[103]

Только одна из проблем Гильберта — восьмая — имеет прямое отношение к теме нашей книги. Вот она — в переводе Мэри Уинстон Ньюсон из Bulletin of the American Mathematical Society[104]:

8. Проблемы простых чисел

В теории распределения простых чисел в последнее время сделаны существенные сдвиги Адамаром, Валле Пуссеном, Мангольдтом и другими. Для полного решения проблемы, поставленной в исследовании Римана «О числе простых чисел, не превышающих данной величины», необходимо прежде всего доказать справедливость исключительно важного утверждения Римана: все нули функции ζ(s), определяемой рядом

имеют вещественную часть, равную 1/2, если не считать известных отрицательных целочисленных нулей. Как только это доказательство будет получено, то дальнейшая задача будет заключаться в том, чтобы использовать бесконечный ряд Римана для более точного определения числа простых чисел и в особенности выяснить, будет ли разность между числом простых чисел, меньших данного числа x, и интегральным логарифмом от x действительно не выше половинного порядка при неограниченно возрастающем x. Далее, действительно ли те члены формулы Римана, которые зависят от первых комплексных нулей функции ζ(s), обусловливают сгущение простых чисел, которое обнаружено при подсчете числа простых чисел.