Джон Дербишир - Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике.

• Название: Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике.
• Автор: Джон Дербишир
• Издательство: Астрель: CORPUS
• Жанр: Математика
• Год: 2010
• ISBN: 978-5-271-25422-2

Сколько имеется простых чисел, не превышающих 20? Их восемь: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 и 19. А сколько простых чисел, не превышающих миллиона? Миллиарда? Существует ли общая формула, которая могла бы избавить нас от прямого пересчета? Догадка, выдвинутая по этому поводу немецким математиком Бернхардом Риманом в 1859 году, для многих поколений ученых стала навязчивой идеей: изящная, интуитивно понятная и при этом совершенно недоказуемая, она остается одной из величайших нерешенных задач в современной математике. Неслучайно Математический Институт Клея включил гипотезу Римана в число семи «проблем тысячелетия», за решение каждой из которых установлена награда в один миллион долларов. Популярная и остроумная книга американского математика и публициста Джона Дербишира рассказывает о многочисленных попытках доказать (или опровергнуть) гипотезу Римана, предпринимавшихся за последние сто пятьдесят лет, а также о судьбах людей, одержимых этой задачей.

---

И Гаусс не ошибся. (В том, что касается математики, он вряд ли вообще когда-либо ошибался.) Докторская диссертация Римана является ключевой работой в истории теории функций комплексной переменной. Я постараюсь подробно рассказать о теории функций комплексной переменной в главе 13, а пока достаточно сказать, что это очень глубокая, мощная и прекрасная ветвь анализа. До настоящего времени практически первое, что изучается в курсе теории функций комплексной переменной, — это условия Коши-Римана, которыми определяются хорошо себя ведущие и заслуживающие дальнейшего изучения функции. Эти уравнения в их современном виде впервые появились в докторской диссертации Римана. Эта работа также содержит первые наброски теории римановых поверхностей, которая представляет собой слияние теории функций с топологией (последний предмет в те времена также был новинкой, в нем не существовало какой бы то ни было связной системы знания, а только разрозненные результаты, восходящие ко временам Эйлера).[65] Докторская диссертация Римана была, одним словом, шедевром.

И Риман, и Дедекинд приступили ко второй ступени академического марафона, которому они себя посвятили, — второй диссертации и пробной лекции, которые требовались для занятия преподавательской должности в университете.

III.

Оставим на некоторое время Бернхарда Римана в его комнате в далеком Геттингене за трудами над диссертацией на право чтения лекций и перенесемся назад на год или два во времени и на тысячи миль в пространстве — в Санкт-Петербург. Много воды утекло под мостами этого города с тех пор, как мы побывали здесь в последний раз, наблюдая, как Леонард Эйлер радовался жизни и плодотворно работал, несмотря на старость и слепоту, во времена правления Екатерины Великой. Эйлер умер в 1783-м, а сама императрица — в 1796 году. Екатерине наследовал ее эксцентричный и безответственный сын Павел. Четырех с половиной лет правления Павла оказалось более чем достаточно для знати, чтобы организовать переворот, удушить Павла и посадить на трон его сына Александра.

Вскоре вся нация оказалась поглощена конфликтом с Наполеоном, а ее говорящая по-французски аристократия — блеском светской жизни, как это описано Толстым в «Войне и мире». После войны Александр на какое-то время увлекся «управляемым самодержавием», затем последовал провал восстания группировки, боровшейся за либеральные идеи и известной под именем декабристов, и в 1825 году трон перешел к Николаю I, склонному к более старомодному абсолютизму.

Однако подтверждение и возобновление принципов абсолютизма не могло предотвратить грандиозных социальных перемен, наиболее достопамятная из которых — первый великий расцвет русской литературы (Пушкин, Лермонтов и Гоголь). Университет в Санкт-Петербурге, в то время отделенный от академии, разросся и процветал; кроме того, были основаны новые университеты в Москве[66], Харькове и Казани. Казанский университет мог похвастаться присутствием великого математика Николая Лобачевского, который занимал должность ректора до своего увольнения в 1846 году. Лобачевский был создателем неэвклидовой геометрии, о которой довольно скоро нам будет что сказать.[67]

В 1849-1850 годах, через 25 лет после воцарения Николая I, интеллектуальная жизнь в России подверглась еще одному всплеску репрессий, вызванному реакцией Николая на европейские революции 1848 года. Число принимавшихся в университеты было сокращено, а учившиеся за границей россияне получили указание вернуться. В такой обстановке молодой преподаватель Санкт-Петербургского университета выпустил две замечательные статьи о ТРПЧ.

Первое, что необходимо сказать о Пафнутии Львовиче Чебышеве, это что его фамилия — кошмар для всякого, кто занимается поиском по базам данных. В своих изысканиях для данной книги я насчитал 32 различных варианта написания его фамилии: Cebysev, Cebyshev, Chebichev, Chebycheff, Chebychev и т.д., и т.д.[68]

А если вы обратили внимание и на необычное имя Пафнутий, то вы не одиноки. Примерно в 1971 году на него обратил внимание математик Филип Дж. Дэвис. Дэвис решил исследовать происхождение имени Пафнутий и написал о своих изысканиях исключительно забавную книгу «Нить» (1983). Если очень коротко, то имя Пафнутий имеет коптское происхождение (Papnute — «Божий человек») и проникло в Европу через коптское христианство; такое имя носил один из второстепенных Отцов Церкви в IV столетии. Присутствовавший на Никейском соборе епископ Пафнутий (Paphnutius, как обычно пишется его имя) высказывался против целибата духовенства. К более позднему времени относится вскользь упоминаемый Дэвисом преподобный Пафнутий Боровский, сын знатного татарина; в возрасте 20 лет он удалился в монастырь, где и оставался до своей смерти в 94-летнем возрасте (1478). Вот что говорит агиограф этого Пафнутия: «Он был девственник и аскет и в силу этого великий чудотворец и пророк». (Примерно посередине моей работы над этой главой я получил электронное письмо от читательницы моей веб-колонки с просьбой предложить имя для ее новой собаки. Так что теперь некий Пафнутий гоняет белок где-то на Среднем Западе.)

Наш с вами Пафнутий был также в некотором роде чудотворцем. Он удостоился чести добиться единственных реальных успехов на пути к доказательству ТРПЧ в период между тем, как Дирихле поднял Золотой Ключ в 1837 году, и тем, как Риман повернул его в 1859-м. Занятно, что наиболее оригинальная работа Чебышева оказалась в стороне от основного направления исследований по ТРПЧ и послужила образованию менее значительного бокового течения, которое развивалось само по себе и слилось с главным потоком лишь 100 лет спустя.

Чебышев на самом деле написал две статьи по ТРПЧ. Первая, датируемая 1849 годом, озаглавлена «Об определении числа простых чисел, не превосходящих данной величины»[69]; стоит отметить схожесть с заглавием статьи Римана, написанной 10 лет спустя. В этой работе Чебышев взял Золотой Ключ Эйлера, поиграл с ним немного, примерно как Дирихле за 12 лет до того, и пришел к следующему интересному результату.

Первый результат Чебышева.

Если π(N) ~ CN/ln N для некоторого фиксированного числа C, то C должно быть равным 1.

Вся проблема, конечно, лежала в этом «если». Чебышев не смог преодолеть эту проблему, как, впрочем, в течение полувека не смог и никто другой.

Вторая статья Чебышева, датируемая 1850 годом, значительно более любопытна. Вместо использования Золотого Ключа она начинается с формулы, доказанной шотландским математиком Джеймсом Стирлингом в 1730 году и выражающей приближенные значения факториальной функции для больших чисел. (Факториал числа N равен 1×2×3×4×…×N. Факториал числа 5, например, равен 120: 1×2×3×4×5 = 120. Обычно для факториала числа N используется обозначение N!. Формула Стирлинга утверждает, что для больших значений N его факториал примерно равен ). Чебышев превратил ее в другую формулу, содержащую ступенчатую функцию — функцию, которая имеет одно значение на некотором интервале аргументов, а затем прыгает к другому значению.

Вооруженный только этими средствами и используя ряд вполне элементарных приемов из дифференциального и интегрального исчисления, Чебышев получил два важных результата. Первый состоит в доказательстве «постулата Бертрана», выдвинутого в 1845 году французским математиком Жозефом Бертраном. Постулат гласит, что между любым числом и его удвоением (например, между 42 и 84) всегда найдется простое число. Второй результат Чебышева таков.

Второй результат Чебышева.

π(N) не может отличаться от N/ln N более чем примерно на 10% в большую или меньшую сторону.

Вторая статья Чебышева важна в двух отношениях. Прежде всего, использование в ней ступенчатой функции могло вдохновить Римана на использование подобной же функции в его работе 1859 года (об этом будет подробно рассказано ниже). Не подлежит сомнению, что Риман знал о работе Чебышева; имя российского математика появляется в записках Римана (где оно пишется как «Tschebyschev»).

Но большего внимания заслуживает сама идея подхода, развитого Чебышевым во второй статье. Он получил свои результаты без использования теории функций комплексной переменной. У математиков есть короткий способ для выражения этого факта: они говорят, что методы Чебышева «элементарны». Риман в своей работе 1859 года не использовал элементарные методы. Для решения исследуемой им проблемы он привлек всю мощь теории функций комплексной переменной. Полученные результаты оказались столь замечательными, что другие математики последовали его примеру, и в конце концов ТРПЧ была доказана с использованием неэлементарных методов Римана.

Вопрос о том, можно ли доказать ТРПЧ элементарными методами, оставался открытым, но по прошествии нескольких десятилетий общее мнение утвердилось в том, что это невозможно. Так, в тексте Алберта Ингэма 1932 года «Распределение простых чисел» автор сообщает в подстрочном примечании: «Доказательство теоремы о распределении простых чисел „в терминах вещественных переменных“, т.е. доказательство, не вовлекающее, будь то явным или неявным образом, понятие аналитической функции комплексной переменной, никогда не было обнаружено, и теперь понятно, почему так и должно быть».