Игорь Дьяконов - Люди города Ура

• Название: Люди города Ура
• Автор: Игорь Дьяконов
• Издательство: Наука. Главная редакция восточной литературы
• Жанр: История
• Год: 1990
• ISBN: 5-02-016568-9

Книга рассказывает об одном из древнейших городов мира — Уре — в период 1932–1739 гг. до н. э. Написанная на уникальном документальном материале, книга, однако, живо воссоздает повседневную жизнь горожан Ура — от высокопоставленных жрецов до бедноты.

---

В шумерских храмовых и царских хозяйствах необходимо было оперировать большими числами (например, мер зерна) и производить довольно сложные хозяйственные расчеты. Для этого выработали «упрощенную» систему, в которой любое число записывается при помощи двух знаков: прямой клиновидной черты (обычно вертикальной) и «углышка» (в ассириологии называется немецким словом Winkelhaken). Первым знаком записываются числа 1;1 X 60 и все степени числа 60; вторым — десятки (от 10 до 50); десятки и единицы могут также означать данный десяток и данные числа единиц, умноженных на 60 или любую степень 60.

Таким образом создалась позиционная система, где порядки шестидесятеричные, а в пределах порядка есть специальное обозначение для десятков и для единиц. Арифметически (с точки зрения вычислителя) безразлично, означает ли клин единицу, или шестьдесят, или шестьдесят в какой-то степени, или шестидесятеричную дробь вида 1/60; операции легко производить на таблице-абаке, начерченной на земле, с помощью камушков двух цветов.[283] Результат, конечно, надо было переводить в бытовую систему исчисления; дело еще осложнялось тем, что системы мер были не во всех случаях десятеричными или шестидесятеричными, и к тому же именованные числа имели особые цифровые знаки, таким образом, что в мерах площади, например, «углышек» обозначал не 10, а 18 единиц и т. п.[284]

Аккадцы, в языке которых издавна господствовала строго десятеричная система, пользовались еще другой системой исчисления; в ней могло быть до девяти десятков, передававшихся «углышком», а числа 100 и 1000 выписывались слоговым образом: 1 me-at (или 1 me) = 100, 1 lim = 1000. Но шестидесятеричной позиционной системой пользовались для вычислений и они.

48. Математический учебный текст. Прорисовка А. А. Ваймана с эрмитажной таблички № 15073

Именно вычислительная техника занимала, несомненно, основную часть курса математики в э-дубе. Шестидесятеричная система требовала огромной таблицы умножения, и она являлась необходимым пособием не только для ученика, но и для писца-практика — администратора или юриста. Еще сложнее обстояло дело с делением. Вавилоняне не выработали сколько-нибудь удобных приемов деления и вместо деления производили умножение на «обратную величину» — дробь с единицей в числителе и нужным числом в знаменателе, выраженную в вышеописанной абстрактной позиционной системе. Таблицы обратных величин были важнейшим пособием писца; существовали также таблицы для перевода из различных метрологических исчислительных систем в абстрактную позиционную и наоборот, таблицы квадратов и квадратных корней и т. п. Существенным подспорьем были также списки обратных постоянных величин — как математических (диагонали квадрата, диаметра, радиуса,[285] площади круга, площади правильного треугольника и др.), так и эмпирических — норм урожайности, норм труда, норм материала, норм кладки кирпича, нормы переноски тяжести и т. п. Постоянные существовали и для вычисления рационов, которые были одинаковыми для всех работавших, независимо от социального положения (раб, член храмового или царского персонала, член общины и т. п.) и зависели только от пола и возраста.

Интересно, что курс математики, и только он, велся в э-дубе на аккадском языке, несмотря на то что вавилонская математика имела, безусловно, шумерское происхождение и что хозяйственные документы в период царства Ларсы все еще составлялись по-шумерски.

Задачи не формулировались абстрактно, они всегда оперировали с конкретными предметами, площадями, объемами и т. п. Но по их решению это задачи на квадратные уравнения, на теорему Пифагора (до Пифагора!).

Наиболее сложные арифметические операции требовались при задачах на обыкновенное деление, точнее, на умножение на обратную величину (самого термина «деление» вавилонские математики не знали). Эта операция была возможна только для «правильных» чисел, имеющих обратную величину, для которых, собственно, и составлялись все таблицы (даже таблицы умножения). Делить, скажем, на 7 вавилоняне умели только приближенно. Операция деления на «правильное» число выглядела так: «Обратную от а возьми, а ты видишь, умножь b на ā, n ты видишь». На «неправильные» делили так: «а не имеет обратной величины. Что надо взять с а, чтобы получить b? Надо взять n».[286] Ученику дается как бы подсказка, взятая из жизненного опыта. Разумеется, вавилоняне не пользовались алгебраическими обозначениями, и наши «а, ā, b, n» передают конкретные числа оригинала. Но учителя обычно избегали задач, требовавших операций с обратными величинами.

Мы сказали, что вавилоняне не имели термина «деление». Какие же арифметические термины у них были? Шум. gar-gar, аккад. kamāru[m] означало «складывать» (собственно, по-аккадски «скапливать»), шум. dah, аккад. wasābu — «прибавлять». «Арифметические понятия, которые выражаются этими терминами, не вполне совпадают, — пишет А. А. Вайман.[287] — Длина и ширина треугольника только „складываются“… По-видимому, термин „складывать“ употребляется для двух величин, которые выступают в процессе сложения как равноправные, а термин „прибавлять“ — для двух величин, одна из которых играла роль основной, а другая — подчиненной, предназначенной дополнить и увеличить основную». Однако сумма называлась по-шумерски только «сложение» (gar-gar), по-аккадски — только «сложенным» или «скопленным» (kummuru[m], kimirtu[m], nakmartu[m]).

Для двух величин, при сложении которых был бы употреблен термин «складывать», при вычитании применялся термин «превышать» (шум. dirig, аккад. watāru[m]) или «недоставать» (шум. lá, lal, аккад. matû); если был бы употреблен для сложения термин «прибавлять», то для вычитания говорилось по-шумерски ba-zi, по-аккадски nasāhu[m] (первое скорее всего значило, собственно, «потеряно», второе значит «вырывать»). Результатом вычитания могли быть «превышение», «недостача» или «остаток» (šapiltu[m], собственно «низ, осадок»). Ср., например, «а над b насколько превышает?»; «b к а сколько недостает?»; «от а отними b, (а — b) ты оставил» (шум. ìb-tag4, аккад. ēzib).

Еще более замысловаты термины для умножения (в числе прочего «кушать» (шум. kú, аккад. akālu[m]). Например, «15, длину, 12, ширину, я скушал, 15 раз 12, 3'0 площадь» (ср. примеч. 280).

Вот некоторые примеры задаваемых ученикам задач (взяты из книги А. А. Ваймана): «Если на 1 бур[288] площади 4 гур зерна я снял, на 1 бур площади 3 гур зерна я снял. Теперь 2 поля. Поле над полем на 10'0 выдается. Оба зерна сложены, 18'20. Каковы мои поля?» Далее приводится (без объяснений) ход решения и само решение (20'0 и 10'0).

Заметим, что поскольку ход решения дается без какого-либо логического обоснования и, видимо, должен был просто зазубриваться, то учителя иногда допускали подгонку. Если решение получалось правильное, то она рассматривалась не как жульничество, а как надлогическая мудрость.

«10 братьев. 12/3 мины серебра. (Каждый) брат возвысился над братом, насколько он возвысился, я не знаю. Доля восьмого 6 сиклей (=0'6). Брат над братом: на сколько он возвысился?» Иначе говоря, имеется прогрессия из десяти членов, в сумме дающая 100 (сиклей серебра =12/3 мины), и задано число для члена прогрессии а8, что составляет минимальную сумму для а10 плюс прирост за два интервала. Древний вавилонянин пользовался здесь (как и во многих других случаях) методом отыскания среднего арифметического.

В области геометрии мы встречаем задачи, связанные с прямоугольником (который назывался uš saĝ — «длинная сторона и боковая сторона»), треугольником (шум. sag-dá(-k), аккад. santakku[m], «клин»), трапецией (шум. sag-ki-gu(d), аккад. pūt alpi[m] — «лоб быка») и «обручем» (шум. gúr, аккад. kippatu[m]), что, по обстоятельствам дела, могло означать «дуга», «окружность» и «круг». Были известны и еще некоторые другие планиметрические фигуры.

Вот примеры задач: «Клин. Ширина его 30. В нем две полосы. Верхняя площадь над нижней площадью на 7'0 выдается. Нижняя, спускающаяся на 20, выдается. Чему равна спускающаяся? И чему равна сумма длин?»

Далее идет ход решения: «Ты: 30, ширину, клади» и т. д.

Все это для нас звучит довольно невнятно. Вот как переводит условия этой задачи А. А. Вайман:[289]

«Рассматривается прямоугольный треугольник, разделенный линией х, параллельной одному из катетов а =30, на две части, разность площадей которых S1 — S2 = Δ = 7'0; разность отрезков отсекаемых линией раздела на соответствующем катете, у2— у1 = δ = 20. Требуется найти у1, у2, s1, s2».