Владимир Дьяконов - Maple 9.5/10 в математике, физике и образовании

• Название: Maple 9.5/10 в математике, физике и образовании
• Автор: Владимир Дьяконов
• Жанр: Математика
• Год: 2006
• ISBN: 5-98003-258-4

Книга является справочником и руководством пользователя по новейшим системам символьной (аналитической) математики — Maple 9.5 и Maple 10. Это признанные мировые лидеры в области аналитических вычислений, прошедшие серьезную сертификацию в этой области. Кратко описан интерфейс систем и подробно их обширные возможности в математике, физике и образовании. Особое внимание уделено технике практических вычислений и визуализации их результатов, а также решению дифференциальных уравнений различного типа. Описаны средства символьных и численных вычислений, графические и программные возможности систем, пакеты их расширения, маплеты и практика применения Maple в математических и физических расчетах. Прилагаемый CD-ROM содержит более 340 файлов с примерами вычислений. Для научно-технических работников, студентов и преподавателей университетов и вузов.

---

Рис. 3.1. Графики зависимостей, получаемых с помощью функций сравнения

3.2.6. Примеры вычисления тригонометрических функций

В ядре Maple (и других СКМ) определены следующие тригонометрические функции: sin — синус; cos — косинус; tan — тангенс; sec — секанс; csc — косеканс; cot — котангенс. Все эти функции являются периодическими (с периодом 2π, кроме тангенса и котангенса, у которых период равен π) и определены для действительного и комплексного аргументов. Примеры вычислений (файл calcfun):

> [sin(1), sin(1.)];

[sin(1), .8414709848]

> sin(x)^2+cos(x)^2;

sin(x)² +cos(x)²

> simplify(%);

1

> simplify(tan(x)*cos(x));

sin(x)

> sec(2+3*1);

sec(2 + 3I)

> sec(2.+3*I);

-.04167496441 + .09061113720 I

> cot(I);

-I coth(1)

> csc(I);

-I csch(1)

Многие свойства тригонометрических функций можно оценить, рассматривая их графики. Для построения таких графиков средствами Maple можно использовать функцию plot. Примеры построения графиков тригонометрических функций даны в файле tfris.

3.2.7. Гармонический синтез пилообразных колебаний

Фундаментальная роль функций синуса и косинуса проявляется в решении задач спектрального анализа и синтеза. В Maple они реализуются с помощью функций прямого и обратного преобразований Фурье [39, 43]. Однако, смысл гармонического синтеза проще всего понять, просто суммируя синусоидальные функции с кратной частотой — гармоники. При этом характер результирующего колебания зависит от того, какие гармоники берутся (все, только четные или только нечетные), а также от того, по какому закону меняется амплитуда колебаний и их фаза в зависимости от номера гармоники. Покажем это на паре примеров.

На рис. 3.2 показан пример гармонического синтеза двух периодов пилообразного колебания (сигнала) при суммировании 3, 10 и 60 гармоник. Отчетливо видно, что по мере увеличения числа гармоник форма колебаний действительно приближается к треугольной. В условиях резкого ограничения числа гармоник в местах предполагаемого разрыва колебаний наблюдаются характерные колебания — эффект Гиббса.

Рис. 3.2. Гармонический синтез треугольных колебаний по 3, 10 и 60 гармоникам

Колебания описанной формы получаются за счет синтеза всех гармоник, причем амплитуда гармоник равна 1/k, где k — номер гармоники.

3.2.8. Гармонический синтез меандра

А теперь рассмотрим синтез симметричных прямоугольных колебаний, получивших название — меандр. Для синтеза меандра надо использовать только нечетные гармоники, т. е. с номерами n=1, 3, 5, … Проще всего получить нечетные числа, используя вместо параметра n значение 2n–1. Тогда для получения 3, 9 и 59 нечетных гармоник надо будет использовать значения n до 2, 5 и 30. Рис. 3.3 иллюстрирует синтез меандра.

Рис. 3.3. Гармонический синтез меандра при n = 2, 5 и 30

Читатель, интересующийся вопросами гармонического синтеза сигналов может опробовать в нем свои силы и синтезировать колебания и сигналы других форм. Поскольку при синтезе сигнал получается в виде частотных составляющих (гармоник), то для преобразования такого сигнала можно использовать частотные фильтры.

3.2.9. Обратные тригонометрические функции и их применение

К обратным тригонометрическим функциям относятся: arcsin — арксинус; arccos — арккосинус; arctan — арктангенс; arcsec — арксеканс; arccsc — арккосеканс; arccot — арккотангенс. Примеры вычислений (файл calcfun):

> arcsin(.2);

.2013579208

> arcsin(2.);

1.570796327 - 1.316957897 I

> evalc(arcsin(5));

½π - I ln(5+2√6)

> arccos(1/2);

⅓π

> arctan(1);

¼π

> arccot(0);

½π

К этому классу функций принадлежит еще одна полезная функция:

arctan(y,x) = argument(х+I*у)

Она возвращает угол радиус-вектора в интервале от -Pi до Pi при координатах конца радиус-вектора х и у (см. пример ниже):

> arctan(2., 3);

.5880026035

Графики ряда обратных тригонометрических функций строит документ, имеющийся в файле tfris. Следует отметить, что эти функции не являются периодическими.

3.2.10. Применение гиперболических функций

Гиперболические функции представлены следующим набором: sinh — гиперболический синус; cosh — гиперболический косинус; tanh — гиперболический тангенс; sech — гиперболический секанс; csch — гиперболический косеканс; coth — гиперболический котангенс. Примеры применения гиперболических функций представлены ниже (файл calcfun):

> [sinh(1.), cosh(1.), tanh(1.)];

[1.175201194, 1.543080635, .7615941560]

> [sech(1.), csch(1.), coth(1.)];

[6480542737, .8509181282, 1.313035286]

На рис. 3.4 сверху представлены графики гиперболического синуса, косинуса и тангенса. По ним можно судить о поведении этих функций.

Рис. 3.4. Графики основных гиперболических и обратных гиперболических функций

В отличие от тригонометрических функций, гиперболические функции не являются периодическими. Функция гиперболического тангенса имеет симметричную кривую с характерными ограничениями. Поэтому она широко используется для моделирования передаточных характеристик нелинейных систем с ограничением выходного параметра при больших значениях входного параметра.

С помощью функции преобразования convert(f, ехр) можно перевести гиперболические функции в экспоненциальную форму:

> convert(sinh(х),ехр);

> convert(tan(х),ехр);

3.2.11. Обратные гиперболические функции и их применение

К обратным гиперболическим функциям относятся: arcsinh — гиперболический арксинус; arccosh — гиперболический арккосинус; arctanh — гиперболический арктангенс; arcsech — гиперболический арксеканс: arccsch — гиперболический арккосеканс: arccoth — гиперболический арккотангенс. Примеры применения:

> [arcsinh(1.),arccosh(1.), arctanh(1.)];

[.8813735870, 0., Float(∞) + Float(undefined)I]

Графики обратных гиперболических синуса, косинуса и тангенса представлены на рис. 3.4 снизу. С помощью функции преобразования convert(f, ln) можно перевести гиперболические функции в логарифмическую форму:

> сonvert(arcsin(х), ln);

> convert(arctan(х), ln);

3.2.12. Вычисление степенных и логарифмических функций

К степенным и логарифмическим относятся следующие функции системы Maple: ехр — экспоненциальная функция; ilog10 — целочисленный логарифм по основанию 10 (возвращает целую часть от логарифма по основанию 10); ilog — целочисленный логарифм (библиотечная функция, возвращающая целую часть от натурального логарифма); ln — натуральный логарифм; log — логарифм по заданному основанию (библиотечная функция); log10 — логарифм по основанию 10; sqrt — квадратный корень.

Примеры вычисления этих функций (файл calcfim):

> х:=2;

х:=2

> [ехр(х),ln(х),log(х),log10(х)];

> х:=2.0;

х:= 2.0

> [ехр(х),ln(х),log(х),log10(х)];

[7.389056099,.6931471806,.6931471806,.3010299957]

> ilog[2](100);

6

> readlib(log10);

proc(x) ... end proc

> log10(10000.);

4.000000000

> evalc(sqrt(2+3*I));

> sqrt(99+1);

13

Графики ряда описанных выше функций показаны на рис. 3.5. Они также получены с применением средств Maple 9.5.

Рис. 3.5. Графики ряда степенных и логарифмических функций

На рис. 3.5 показаны также графики синусоиды с экспоненциально падающей и нарастающей амплитудой. Строго говоря, называть представленные функции синусоидами математически не корректно.

Многие функции этой группы обычно определены для положительных значений аргумента. Однако введение комплексных чисел позволяет вычислять такие функции и для отрицательных значений аргумента. Несколько интересных примеров этого представлено ниже (файл calcfun):

> restart:sqrt(-4);

2I

> simplify( sqrt(х^2));

csgn(x)x

> ln( -1 );

πI

> simplify(log(exp(x)));

ln(ex)

> assume(x,positive);simplify(log(exp(x)));

x~

Обратите внимание на то, что в предпоследнем примере Maple отказалась вычислить «очевидное» значение выражения, но сделала это после придания х статуса предполагаемой переменной с только положительными значения.