Мартин Гарднер - Математические головоломки и развлечения

• Название: Математические головоломки и развлечения
• Автор: Мартин Гарднер
• Издательство: "Мир"
• Жанр: Развлечения
• Год: 1999
• ISBN: 5-03-003340-8

Книга известного американского популяризатора науки М. Гарднера содержит множество занимательных задач и головоломок из самых различных областей математики. Благодаря удачному подбору материла, необычной форме его подачи и тонкому юмору автора она не только доставит удовольствие любителям математики, желающим с пользой провести свой досуг, но и может быть полезной преподавателям математики школ и колледжей в их работе.

---

— Но мой преподаватель физики, — сказала Нэнси, нахмурив брови, — учил меня, что четвертым измерением служит время.

— Чепуха! — фыркнул Аполлинакс. — Общая теория относительности давно мертва. Разве ваш профессор не слышал о роковом изъяне эйнштейновской теории, недавно обнаруженном Хилбертом Донглем?

— Сомневаюсь, чтобы это была правда, — ответила Нэнси.

— Идею Донгля легко объяснить. Если вы быстро закрутите шар из мягкой резины, что произойдет с его экватором? Он расширится. В рамках теории относительности вы можете объяснить это расширение двумя способами. Во-первых, вы можете предположить, что вся Вселенная представляет собой некую фиксированную систему отсчета — так называемую инерциальную систему отсчета. Тогда вы говорите, что сфера вращается, а инерция заставляет экватор расширяться. Во-вторых, вы можете принять за фиксированную систему отсчета сферу, полагая, что вращается остальная Вселенная. В этом случае вы говорите, что массы движущихся звезд создают тензорное гравитационное поле, которое оказывает сильнейшее воздействие на экватор неподвижного шара. Конечно…

— Я бы предположил несколько иную формулировку, — вмешался профессор Чита. — Я бы сказал, что существует относительное движение сферы и звезд и это относительное движение обусловливает определенные изменения в временной структуре Вселенной. Образно выражаясь, можно сказать, что давление этой пространственно-временной матрицы и приводит к растяжению экватора. Растяжение можно считать либо гравитационным, либо инерциальным эффектом. И в том и в другом случае гравитационные уравнения абсолютно одинаковы.

— Очень хорошо, — ответил Аполлинакс. — То, о чем вы говорите, Эйнштейн называл принципом эквивалентности — эквивалентности гравитации и инерции. Как любит говорить Ганс Рейхенбах, подлинного различия между ними нет. Но позвольте вас спросить: разве теория относительности не запрещает физическим телам двигаться с отрицательными скоростями, превышающими скорость света? И все же, приняв резиновый шар за фиксированную систему отсчета и лишь слегка закрутив его, мы сможем придать Луне относительную скорость, намного превосходящую скорость света.

Профессор Чита медленно перевел дыхание.

— Дело в том, — продолжал Аполлинакс, что мы просто не в состоянии удерживать шар неподвижно, когда Вселенная вращается вокруг него. Это означает, что вращение шара мы должны считать не относительным, а абсолютным. Астрономы сталкиваются с аналогичной трудностью при попытке объяснить так называемый поперечный эффект Доплера. Если Земля вращается, то относительная поперечная скорость между обсерваторией и лучом света, идущим от далекой звезды, мала, поэтому мало и доплерово смещение. Если же считать, что вращается Вселенная, то поперечная скорость далекой звезды относительно обсерватории очень велика, и доплерово смещение должно быть большим. Поскольку доплерово смещение мало, мы вынуждены принять допущение о том, что вращается именно Земля. Тем самым наносится решающий удар по теории относительности.

— А как же, — пробормотал Чита, слегка бледнея, — согласовать ваше утверждение с тем фактом, что эксперимент Майкельсона—Морли не обнаружил движения Земли относительно неподвижного пространства?

— Очень просто, — ответил Аполлинакс. — Вселенная бесконечна. Земля обращается вокруг Солнца, Солнце в свою очередь движется через Галактику, Галактика как-то перемещается относительно других галактик, те образуют скопления галактик, которые находятся в движении по отношению к другим галактическим скоплениям, скопления входят как составные части в сверхскопления и т. д. Иерархия бесконечна. Сложите бесконечный ряд векторов, имеющих случайную величину и случайное направление, и что вы получите? Они взаимно уничтожатся. Нуль и бесконечность — близкие родственники. Позвольте продемонстрировать это на примере.

Он указал на большую вазу, стоявшую на столе.

— Предположим, что ваза пуста, и начнем наполнять ее числами. Если угодно, вы можете представить себе, что числа написаны на маленьких карточках. За минуту до полудня положим в вазу числа от 1 до 10, а затем извлечем из нее число 1. За полминуты до полудня положим в вазу числа от 11 до 20 и вынем из нее число 2. За треть минуты до полудня положим в вазу числа от 21 до 30 и вытащим число 3. За четверть минуты до полудня опустим в вазу числа от 31 до 40 и т. д. Сколько чисел останется в вазе в полдень?

— Бесконечно много, — ответила Нэнси. — Каждый раз, когда вы брали из вазы одно число, вы клали в нее десять чисел.

Аполлинакс закудахтал от смеха.

— В вазе ничего не останется! Останется ли в вазе число 4? Нет, мы вынем его во время четвертой операции. Останется ли в вазе число 518? Нет, мы извлечем его при 518-й операции. Числа, оставшиеся в вазе в полдень, образуют пустое множество. Теперь вы видите, насколько бесконечность близка к нулю?

Тут с подносом в руках к нам подошла миссис Чита. На подносе были разного рода печенья и сласти.

— Воспользуюсь аксиомой выбора Цермело, — сказал Аполлинакс, потянув себя за эспаньолку, — и возьму по штучке каждого сорта.

— Как вы относитесь к современной квантовой теории, — спросил я, немного погодя, — если считаете, что теория относительности мертва? Верите ли вы в то, что поведение элементарных частиц по самому своему существу случайно, или считаете, что случайность в их поведении отражает лишь наше незнание тех законов, которым оно подчиняется?

— Я придерживаюсь современных взглядов, — сказал Аполлинакс. — Можно даже сказать, что я иду гораздо дальше. Я согласен с Карлом Поппером, что существуют логические причины, по которым детерминизм нельзя более принимать всерьез.

— В это трудно поверить, — заметил кто-то.

— Ну что ж, сформулируем нашу мысль несколько иначе. Существуют такие отрезки будущего, которые в принципе никогда нельзя предсказать правильно, даже если вы располагаете полной информацией о состоянии Вселенной в данный момент. Позвольте продемонстрировать.

Он вытащил из кармана чистую карточку, какие обычно используют в библиотечных каталогах, и, держа ее так, чтобы никто не мог видеть, что он на ней пишет, нацарапал что-то и передал карточку мне, держа ее исписанной стороной вниз.

— Положите в правый карман ваших брюк.

Я исполнил указание.

— На карточке, — пояснил Аполлинакс, — я описал одно будущее событие. Оно еще не произошло, но заведомо должно либо произойти, либо не произойти, прежде чем наступит, — тут он взглянул на свои часы, — шесть часов.

Вынув из кармана еще одну чистую карточку, он протянул ее мне.

— Я хочу, — сказал Аполлинакс, — чтобы вы попробовали догадаться, произойдет ли то событие, которое я только что описал на первой карточке. Если вы считаете, что оно произойдет, напишите на той карточке, которая у вас в руках, «да». Если вы думаете, что оно не произойдет, напишите «нет».

Я начал было писать, но Аполлинакс схватил меня за руку.

— Подождите, старина. Если я увижу ваше предсказание, то смогу что-нибудь предпринять для того, чтобы оно не сбылось. Подождите, пока я не отвернусь, и не давайте никому подсматривать то, что вы напишете.

Он отвернулся и до тех пор, пока я не кончил писать, старательно разглядывал потолок.

— А теперь положите карточку со своим предсказанием к себе в левый карман, где его никто не сможет увидеть.

Он снова повернулся ко мне.

— Я не знаю вашего предсказания, а вы не знаете, в чем состоит событие. Вероятность того, что вы угадали правильно, равна 1/2.

Я кивнул.

— Я предлагаю вам пари. Если ваше предсказание ошибочно, вы платите мне десять центов. Если же оно верно, я плачу вам миллион долларов.

Все удивились.

— Вот это ставка, — проговорил я.

— А пока мы ждем, — продолжал Аполлинакс, обращаясь к Нэнси, — вернемся снова к теории относительности. Хотите знать, каким образом вы можете всегда носить относительно чистый свитер, даже если у вас есть только два свитера и вы их никогда не стираете?

— Я вся обратилась в слух, — ответила Нэнси улыбаясь.

— Не думайте плохого, — извинился Аполлинакс, — у вас есть и другие приметы, в том числе очень милые, но позвольте мне все-таки объяснить, как обстоит дело со свитерами. Вы должны носить самый чистый свитер (назовем его А) до тех пор, пока он не станет грязнее свитера В. Затем вы должны снять А и надеть относительно чистый свитер В. В тот момент, когда В станет грязнее А, вы снимаете В и снова надеваете А и т. д.

Нэнси сделала гримасу.

— К сожалению, я не могу ждать до шести часов, — сказал Аполлинакс, — тем более в такой теплый весенний вечер в Манхэттене. Вы случайно не знаете, не играет ли где-нибудь сегодня вечером Телониус Монк?