Мартин Гарднер - Математические головоломки и развлечения

• Название: Математические головоломки и развлечения
• Автор: Мартин Гарднер
• Издательство: "Мир"
• Жанр: Развлечения
• Год: 1999
• ISBN: 5-03-003340-8

Книга известного американского популяризатора науки М. Гарднера содержит множество занимательных задач и головоломок из самых различных областей математики. Благодаря удачному подбору материла, необычной форме его подачи и тонкому юмору автора она не только доставит удовольствие любителям математики, желающим с пользой провести свой досуг, но и может быть полезной преподавателям математики школ и колледжей в их работе.

---

Распродав всех хомяков и попугаев, кроме семи, владелец магазина обнаружил, что выручка от продажи в точности равна сумме, затраченной им на всю покупку. Следовательно, его потенциальная прибыль равна общей цене оставшихся семи хомяков и попугаев.

Сколько стоит оставшаяся живность?

Ответы

1. Разрезать тупоугольный треугольник на остроугольные можно всегда. Схема разрезания на семь остроугольных треугольников, применимая к любому тупоугольному треугольнику, показана на рис. 189.

Рис. 189 Тупоугольный треугольник, разрезанный на семь остроугольных треугольников.

Нетрудно видеть, что число семь минимально. Тупой угол должен быть разрезан по какой-то прямой. Эта прямая не может доходить до противолежащей стороны, ибо тогда получился бы другой тупоугольный треугольник, который в свою очередь нужно было бы разрезать, вследствие чего схема разрезания большого треугольника не была бы минимальной. Поэтому линия, по которой разрезают тупой угол, должна заканчиваться в некоторой точке внутри треугольника. В этой точке должны сходиться по крайней мере пять линий разреза, в противном случае не все углы при этой вершине были бы острыми. Отсюда получается внутренний пятиугольник из пяти остроугольных треугольников, а общее число остроугольных треугольников становится равным семи.

Возникает вопрос: можно ли произвольный тупоугольный треугольник разрезать на семь остроугольных равнобедренных треугольников? Оказывается, этого сделать нельзя?[60] А вот прямоугольный и остроугольный треугольники (каждый из них в отдельности) можно разрезать на девять остроугольных равнобедренных треугольников, а остроугольный равнобедренный треугольник можно разрезать на четыре одинаковых равнобедренных треугольника, подобных исходному.

Квадрат можно разрезать на восемь остроугольных треугольников так, как показано на рис. 190.

Рис. 190 Квадрат, разрезанный на восемь остроугольных треугольников.

Если линии разрезов симметричны относительно вертикальной оси квадрата, то точки Р и Р' должны лежать внутри заштрихованной области, граница которой образована дугами четырех полуокружностей. Возможно и асимметричное расположение линий разрезов, при котором точка Р выходит за пределы заштрихованной области, но остается внутри двух больших полукругов.

Г. С. М. Коксетер обратил внимание на удивительный факт: для любого прямоугольника, как бы мало ни отличались по длине его стороны, отрезок РР' всегда можно переместить в центр квадрата, так что линии разрезов будут симметричны не только относительно вертикальной, но и относительно горизонтальной оси.

Нельзя не упомянуть и два нерешенных вопроса. Квадрат можно разрезать на одиннадцать равнобедренных остроугольных треугольников. Минимально ли это число? Существует ли четырехугольник, который нельзя было бы разрезать на восемь или меньшее число остроугольных треугольников?

На рис. 191 показаны схемы разрезания пентаграммы (правильной пятиконечной звезды) и греческого креста на наименьшее из возможных число остроугольных треугольников.

Рис. 191 Пятиугольная звезда (пентаграмма) и греческий крест, разрезанные на минимальное число остроугольных треугольников.

2. Объем сферы равен кубу ее радиуса, умноженному на 4π/3.

Площадь поверхности сферы равна квадрату ее радиуса, умноженному на 4π. Выразив радиус Луны в лунарах и предположив, что ее поверхность в квадратных лунарах равна ее объему в кубических лунарах, мы сможем определить длину радиуса, если приравняем оба выражения и решим полученное уравнение относительно радиуса. Число π сокращается и в правой и в левой части, и мы получат ем, что радиус Луны равен трем лунарам. Поскольку радиус Луны равен 1738 км, один лунар равен 579 1/3 км.

3. Независимо от того, сколько листков бумаги берут играющие в гугол, вероятность выбрать листок с наибольшим числом никогда не опускается ниже 0,367879 (предполагается, что играющий придерживается оптимальной стратегии). Эта величина обратна числу е и служит пределом вероятности выигрыша, когда число листков стремится к бесконечности.

Если для игры взято десять листков (это число особенно удобно), то вероятность выбрать листок с наибольшим числом равна 0,398. Оптимальная стратегия состоит в том, чтобы, перевернув три листка, выбрать наибольшее из значащихся на них чисел, а затем продолжать переворачивать листки до тех пор, пока не встретится еще большее число. При достаточно продолжительной игре такая тактика гарантирует выигрыш в двух случаях из пяти возможных.

Анализ игры в гугол сводится к следующему. Пусть π — число листков бумаги, взятых для игры, р — число листков, перевернутых до того, как было выбрано число, превосходящее любое из чисел, проставленных на этих листках. Перенумеруем листки по порядку от 1 до π. Пусть (k + 1) — номер листка с наибольшим числом. Для того чтобы мы могли выбрать наибольшее число, k должно быть не меньше р (в противном случае, при k < р, наибольшее число будет для нас безвозвратно «утеряно», так как окажется на одном из р первых листков), при этом наибольшее из чисел на листках от 1 до А; должно одновременно быть наибольшим из чисел от 1 до р (в противном случае мы бы не смогли дойти до наибольшего из всех чисел, так как остановили бы свой выбор на наибольшем из чисел, значащихся на листках с номерами от 1 до р). Вероятность найти наибольшее число, если оно выписано на (k + 1) — м листке, равна p/k, а вероятность того, что наибольшее число действительно стоит на (k+1) — м листке, равна 1/n. Поскольку наибольшее число может стоять только на одном листке, мы получаем для вероятности «накрытия» этого числа следующую формулу:

При заданном значении п (числа листков) формула позволяет находить оптимальное значение р (числа листков, которые нужно перевернуть) — то значение р, при котором выписанное выражение достигает максимума. При π, стремящемся к бесконечности, p/n стремится к 1/e, поэтому хорошим приближением для р можно считать ближайшее к n/e целое положительное число. Итак, при игре с п листками стратегия заключается в том, чтобы переворачивать листки до тех пор, пока их число не превысит n/e, а затем выбрать первое же число, большее максимального, из чисел, записанных на перевернутых n/e листках.

Разумеется, приведенное выше рассуждение исходит из предположения о том, что играющему не известны наибольшее и наименьшее из чисел, выписанных на листках, и поэтому, увидев очередное число, он не может судить о том, насколько близко оно к верхней или нижней границе того отрезка числовой оси, которой принадлежит выбранное число. Если играющий располагает такими сведениями, то все рассуждение становится неприменимым. Например, если вместо листков бумаги при игре в гугол взять десять долларовых купюр с их банковскими номерами, то, вытащив доллар, номер которого начинается с девятки, вам лучше всего объявить этот номер наибольшим. По аналогичным причинам игра в гугол, если говорить строго, неприменима и к задаче о девушке, жаждущей выйти замуж, ибо, как отметили многие читатели, девушка, по-видимому, великолепно осведомлена о достоинствах своих поклонников и подходит к ним с определенными мерками. Если первый же, кто делает ей предложение, очень близок к ее идеалу, то, как написал нам один из читателей, «она будет просто дурой, если не примет предложения».

Задача о максимизации значения выбранного объекта (а не вероятности выбора объекта с наибольшим значением), насколько известно, была впервые поставлена знаменитым математиком Артуром Кэли в 1875 году.

4. Примем за единицу длины ширину (или равную ей глубину) строя курсантов, а за единицу времени — то время, которое требуется им, чтобы пройти единицу длины. В принятых единицах скорость передвижения строя также будет единичной. Пусть х — полное расстояние, пройденное терьером (его скорость будет выражаться той же величиной х). Когда пес бежит к первой шеренге, его скорость относительно курсантов равна х — 1. При возвращении в последнюю шеренгу скорость терьера составляет х + 1. Каждый раз он пробегает (относительно строя) расстояние 1 и на путешествия в оба конца затрачивает единицу времени. Это позволяет нам составить уравнение