Мартин Гарднер - Математические головоломки и развлечения

• Название: Математические головоломки и развлечения
• Автор: Мартин Гарднер
• Издательство: "Мир"
• Жанр: Развлечения
• Год: 1999
• ISBN: 5-03-003340-8

Книга известного американского популяризатора науки М. Гарднера содержит множество занимательных задач и головоломок из самых различных областей математики. Благодаря удачному подбору материла, необычной форме его подачи и тонкому юмору автора она не только доставит удовольствие любителям математики, желающим с пользой провести свой досуг, но и может быть полезной преподавателям математики школ и колледжей в их работе.

---

Примем длину палки за 1 и обозначим через х длину более короткого обломка, получившегося после первого переламывания палки. Чтобы построить треугольник, мы должны переломить в какой-то точке больший обломок, длина которого составляет (A-х) единиц. Следовательно, вероятность построить треугольник составляет 1/(1-x). Усреднив по х от 0 до 1/2, мы получаем — 1 + 2 In 2, или 0,386. Сломав палку в первый раз, мы еще должны после этого выбросить более длинный обломок. Так как этот выбор мы производим с вероятностью 1/2, число 0,386 для получения окончательного ответа нужно умножить на 1/2. В результате мы получаем ответ задачи: 0,193. Это чуть больше 1/6 — ответа, к которому приводят предыдущие рассуждения.

После опубликования мною статьи, составляющей содержание этой главы, я получил любопытное письмо от сотрудников Отдела учебных тестов из Принстона. Прислав правильное решение второго варианта задачи о сломанной палке, они предложили мне ответить, какая из следующих трех гипотез наиболее вероятна:

1) м-р Гарднер честно заблуждается;

2) м-р Гарднер умышленно совершает ошибки в рассуждениях, чтобы испытать своих читателей;

3) м-р Гарднер виновен в том, что в математическом мире принято называть заблуждениями Даламбера.

Сообщаю: наиболее вероятна третья гипотеза.

Ответы

Ответ к задаче о трех смертниках: вероятность того, что помилован A, равна 1/3, вероятность того, что помилован С— 2/3.

Независимо от того, кто помилован в действительности, надзиратель сообщает А, что казнить собираются другого заключенного, поэтому, что бы ни сказал тюремщик заключенному А, вероятность остаться в живых для того по-прежнему остается равной 1/3.

Аналогичная ситуация возникает в следующей карточной игре.

Две черные карты (означающие смертный приговор) и одна красная карта (соответствующая помилованию) перетасовываются и сдаются трем игрокам А, В и С (заключенным). Если четвертый участник игры (надзиратель) заглянет во все карты, а затем откроет черную карту, принадлежащую либо В, либо С, то какова вероятность того, что у А красная карта? Трудно удержаться от искушения предположить, что искомая вероятность равна 1/2, так как нераскрытыми остались только две карты, лишь одна из которых черная. Но так как у одного из двух игроков, В или С, всегда должна быть черная карта, то показ ее не позволяет сделать никаких заключений о цвете карты, сданной игроку А.

Это нетрудно понять, если усугубить ситуацию — смертному приговору будет соответствовать туз пик в полной карточной колоде. Предположим, что карты сданы и А открывает одну из полученных им карт. Вероятность избежать смертного приговора для А равна 51/52. Если кто-нибудь заглянет в карты и откроет 50 карт, отличных от туза пик, то нераскрытыми останутся только две карты, одна из которых заведомо должна быть тузом пик, но это, очевидно, не понижает шансов А до 1/2. Не понижает потому, что, заглянув в 51 карту, мы всегда можем найти среди них 50 карт, значение которых отлично от туза пик. Поэтому, найдя и открыв их, мы не изменим вероятности того, что А не будет приговорен к смертной казни. Другое дело, если мы наугад раскрыли 50 карт и среди них не оказалось туза пик. В этом случае А с вероятностью 1/2 должен вытащить роковую карту.

А как обстоят дела у С? Либо А, либо С должен быть казнен.

Их вероятности выжить в сумме должны составлять 1. Шансы выжить у А равны 1/3; следовательно, С не будет казнен с вероятностью 2/3. Это подтверждается рассмотрением четырех возможных элементов в пространстве элементарных событий и их начальных вероятностей.

1. Помилован С, надзиратель назвал В (вероятность 1/3).

2. Помилован В, надзиратель назвал С (вероятность 1/3).

3. Помилован А, надзиратель назвал В (вероятность 1/6).

4. Помилован А, надзиратель назвал С (вероятность 1/6).

Узник А остается в живых в случаях 3 и 4; следовательно, вероятность счастливого исхода для А равна 1/3. Известие о том, что казни подлежит В, отвечает случаям 1 и 3. При этом случай 1 (вероятность 1/3) встречается вдвое чаще, чем случай 3 (вероятность 1/6). Следовательно, вероятность того, что помилован С, относится к вероятности помилования А как 2 к 1, то есть равна 2/3. В нашей карточной модели это означает, что с вероятностью 2/3 игрок С получает красную карту.

Задача о трех заключенных вызвала настоящий поток писем (мнения читателей разделились). К счастью, все возражения оказались безосновательными. Ниже приведен хорошо продуманный разбор этой задачи, принадлежащий ШеЙле Бишоп.

Сэр!

Прийти к заключению, что рассуждения А неверны, меня заставила следующая парадоксальная ситуация. Предположим, что первый разговор между А и его стражем был именно таким, как сказано в условии задачи, но когда тюремщик направлялся к камере А, чтобы сообщить тому о предстоящей казни В, то по дороге он провалился в люк или с ним приключилась какая-нибудь другая неприятность, помешавшая второму разговору с А.

В этом случае А мог бы рассуждать так: «Предположим, что надзиратель намеревался сообщить мне, что казнить собираются В. Тогда мой шанс остаться в живых был бы равен 1/2. С другой стороны, если бы надзиратель сообщил мне, что казнить должны С, то мои шансы не изменились бы и также составляли бы 1/2. Но мне достоверно известно, что он должен был сообщить мне либо одно, либо другое известие. Поэтому и в том и в другом случае с вероятностью 1/2 я должен остаться в живых». Итак, если рассуждать таким образом, то оказывается, что А мог бы подсчитать вероятность благоприятного для себя исхода (1/2), не спрашивая ни о чем своего тюремщика!

После нескольких часов размышления я наконец пришла к иному заключению. Рассмотрим большое число групп из трех узников, находящихся в той оке ситуации, что и А, В и С.

Пусть в каждой группе с тюремщиком беседует свой А. Если всего имеется 3n групп заключенных (по 3 человека в каждой группе), то в n из них будет помилован А, в n будет помилован В и в n будет помилован С. В 3n/2 случаях тюремщик скажет: «Будет казнен В». В n из этих случаев С будет выпущен на свободу, в n/2 случаях на свободу будет выпущен А. Шансы С вдвое больше шансов А. Следовательно, вероятности выжить для А и С равны соответственно 1/3 и 2/3…

Нашлись читатели, которые считают, что тюремного надзирателя незаслуженно оклеветали. Вот что написали двое из них:

Сэр!

Мы обращаемся к вам от имени надзирателя, который, являясь должностным лицом, не хотел бы быть замешанным в обсуждение спорных вопросов.

Вы порочите его репутацию, заявляя, будто надзиратель ничего не знал о теории вероятностей. Мы считаем, что подобное утверждение является величайшей несправедливостью. Вы заблуждаетесь, а быть может, и злостно клевещете. Со своей стороны мы хотим заверить вас, что математика вообще и теория вероятностей в частности в течение вот уже многих лет являются его излюбленнейшим занятием. То, что он, руководствуясь гуманным намерением облегчить последние часы осужденного человека (ибо, как известно теперь, помилован был С), ответил на вопрос А, ничуть не противоречит инструкциям, полученным им от губернатора.

Единственное, в чем его действительно можно упрекнуть (и за что он уже получил выговор от губернатора), так это то, что он не сумел воспрепятствовать установлению связи между А и С и тем самым не помешал С более точно оценить вероятность остаться в живых. Но и этот промах тюремщика не повлек за собой тяжких последствий, поскольку С не сумел должным образом воспользоваться полученной информацией.

Если вы публично не отречетесь от своих слов и не принесете извинений, мы будем вынуждены прекратить подписку на ваш журнал.

Глава 35. ДВОИЧНАЯ СИСТЕМА

В настоящее время во всем цивилизованном мире принята десятичная система записи чисел, основанная на использовании последовательных степеней числа 10. Самая правая цифра любого числа указывает, сколько в нем содержится единиц, то есть 100. Вторая от конца цифра указывает количество десятков, то есть 101; третья — число сотен, то есть 102, и т. д. Например, 777 в десятичной системе означает сумму (7 100) + (7 101) + (7 102). Столь широкое распространение числа 10 в качестве основания системы счисления объясняется тем, что у нас на руках десять пальцев. Не случайно английское слово «digit» имеет два значения: «палец» и «цифра». Если на Марсе обитают человекоподобные существа с двенадцатью пальцами, то можно с уверенностью сказать, что марсианская арифметика использует двенадцатеричную систему счисления с основанием 12.

Простейшей из всех числовых позиционных систем следует считать двоичную систему счисления с основанием 2. Двоичной системой пользовались при счете некоторые первобытные племена, она была известна еще древнекитайским математикам, но по-настоящему развил и построил двоичную систему великий немецкий математик Лейбниц, видевший в ней олицетворение глубокой метафизической истины. Нуль для Лейбница был символом небытия, пустоты, единица — символом бытия или материи. Он полагал, что и нуль и единица в равной степени необходимы Создателю, ибо вселенная, состоящая из одной лишь чистой материи, была бы неотличима от пустой, ничем не возмущаемой вселенной, которую символизирует 0. По Лейбницу, все в мире сотворено из двух противоположных начал — бытия и небытия, так же как любое число в двоичной системе представлено одними лишь нулями и единицами. Со времен Лейбница и вплоть до недавнего времени двоичную систему считали не более чем занятным курьезом, лишенным какой бы то ни было практической ценности. Но вот появились вычислительные машины. Многие их детали работают по принципу «да-нет»: ток либо течет по проводнику, либо не течет; переключатель находится либо в положении «включено», либо в положении «выключено»; полюс магнита может быть либо северным, либо южным, ячейка памяти находится только в одном из двух состояний. Это и позволяет конструировать компьютеры, способные с огромной быстротой и точностью перерабатывать входные данные, закодированные в двоичной системе. «Увы! — пишет известный голландский математик Т. Данциг в своей книге «Число — язык науки», то, что некогда возвышалось как монумент монотеизму, очутилось во чреве робота».