Мартин Гарднер - Математические головоломки и развлечения

• Название: Математические головоломки и развлечения
• Автор: Мартин Гарднер
• Издательство: "Мир"
• Жанр: Развлечения
• Год: 1999
• ISBN: 5-03-003340-8

Книга известного американского популяризатора науки М. Гарднера содержит множество занимательных задач и головоломок из самых различных областей математики. Благодаря удачному подбору материла, необычной форме его подачи и тонкому юмору автора она не только доставит удовольствие любителям математики, желающим с пользой провести свой досуг, но и может быть полезной преподавателям математики школ и колледжей в их работе.

---

В истории совершенного квадрата следует назвать еще три эпизода, хотя каждый из них знаменует не подъем, а спад в развитии теории.

Начнем с того, что мы не прекращали работы по составлению каталога совершенных прямоугольников 13-го порядка. Однажды мы обнаружили, что два из найденных прямоугольников имеют одинаковую форму, хотя все элементы у них различны. Это позволило построить совершенный квадрат 28-го порядка (идея его построения ясна из рис. 165). Позднее мы нашли совершенный прямоугольник 13-го порядка, который в комбинации с совершенным прямоугольником 12-го порядка и одним элементарным квадратом позволил построить совершенный квадрат 26-го порядка. Если о качестве совершенного квадрата судить по малости его порядка, то эмпирический метод составления каталога совершенных треугольников доказал свое превосходство над нашим изящным теоретическим методом.

Эмпирический метод позволил добиться замечательных результатов и другим исследователям. Р. Спрэг ухитрился сложить из элементарных квадратов совершенный квадрат 55-го порядка. Это был первый из опубликованных совершенных квадратов (1939 год).

Позднее Т. Г. Уиллкокс, включивший в свой каталог не только простые, но и составные совершенные прямоугольники, нашел совершенный квадрат 24-го порядка (рис. 172).

Рис. 172

Его формула имеет следующий вид: [55, 39, 81], [16, 9, 14], [4, 5], [3, 1], [20], [56, 18], [38], [30, 51], [64, 31, 29], [8, 43], [2, 35], [33]. Этот совершенный квадрат и поныне держит рекорд малости порядка.

В отличие от теоретического метода эмпирический подход до сих пор еще не позволил построить ни одного простого совершенного квадрата.

На тот случай, если кому-нибудь из читателей захочется самому повозиться с совершенными прямоугольниками, приведу две нерешенные задачи. Первая заключается в том, чтобы найти наименьший возможный порядок совершенного квадрата, вторая — в том, чтобы построить простой совершенный прямоугольник, горизонтальная сторона которого вдвое больше вертикальной.

* * *

В 1960 году К. И. Баувками опубликовал каталог всех простых квадрируемых прямоугольников (то есть квадрируемых прямоугольников, не содержащих квадрируемых прямоугольников меньших размеров) до 15-го порядка включительно. С помощью компьютера Баувкамп и его сотрудники получили следующие результаты:

Порядок прямоугольников 9 10 11 12 13 14 15

несовершенных 1 0 0 5 33 104 283

совершенных 2 6 22 67 213 744 2609

Несовершенными простыми квадрируемыми прямоугольниками здесь названы такие, которые содержат по крайней мере два одинаковых квадрата; совершенными — такие прямоугольники, в разбиение которых входят только неповторяющиеся квадраты. Общее число простых квадрируемых прямоугольников до 15-го порядка включительно равно 4094. Интересно отметить, что все простые квадрируемые прямоугольники 10-го и 11-го порядков одновременно являются и совершенными. Единственный несовершенный простой прямоугольник 9-го порядка имеет формулу: [6, 4, 5], [3, 1], [6], [5, 1], [4]. Он обладает приятной симметрией и может служить превосходной задачей на разрезание для детей.

Несколько квадрируемых прямоугольников было опубликовано в сборниках головоломок С. Лойда и Г. Дьюдени, но ни один из этих прямоугольников не был ни простым, ни совершенным. Пример простого, но не совершенного квадрируемого квадрата 26-го порядка приведен в книгах Г. Штейнгауза и М. Крайчика. Один из читателей прислал мне фотографию красивого внутреннего дворика прямоугольной формы, выложенного из 19 квадратных бетонных блоков с двухдюймовыми прокладками из красного дерева.

Наименьший из опубликованных квадратов, являющийся одновременно и простым и совершенным, построил Р. Л. Брукс. Это квадрат 38-го порядка со стороной 4920. В 1959 году результат Брукса был улучшен Т. Г. Уиллкоксом, который нашел квадрат 37-го порядка со стороной 1947.

Естественно, возникает вопрос, можно ли рассечь куб на конечное число меньших кубов так, чтобы все они были различных размеров. Оказывается, нет. Изящное доказательство этого было дано «выдающимися математиками» из Тринити-колледжа[54] Ход доказательства примерно таков.

Представьте себе, что на столе перед вами стоит куб, разрезанный на кубики меньших размеров, причем среди кубиков нет двух одинаковых. Ясно, что нижняя грань куба представляет собой дрируемый квадрат. Среди элементарных квадратов, входящих в разбиение нижней грани, найдется наименьший. Нетрудно видеть, что наименьший квадрат не может прилегать к стороне большого квадрата, то есть к ребру нижней грани куба. Поэтому наименьший из кубов, опирающихся на крышку стола, — назовем его куб А — должны окружать другие кубы. Ни один из этих окружающих кубов не может быть меньше куба А, поэтому их грани образуют вокруг него забор, высота которого превышает высоту куба А.

Следовательно, на куб А может опираться лишь куб еще меньших размеров. На верхней грани куба А они порождают некий руемый квадрат. Среди элементарных квадратов, на которых разлагается верхняя грань куба А, найдется наименьший квадрат. Обозначим через В наименьший из кубов, опирающихся на верхнюю грань куба А.

В свою очередь среди кубов, опирающихся на верхнюю грань куба В, найдется наименьший куб С. Итак, мы получаем бесконечную последовательность все меньших и меньших кубов, напоминающую известное шуточное стихотворение Свифта о блохах, которых кусают еще меньшие блошки, и т. д. до бесконечности. Следовательно, куб нельзя рассечь на конечное число неповторяющихся кубов меньших размеров.

«Гранями» четырехмерного гиперкуба служат обычные трехмерные кубы. Если «гиперкубировать» гиперкуб, то есть рассечь его на неповторяющиеся меньшие гиперкубы той же размерности, то его грани должны стать «кубированными» кубами. Поскольку, как мы только что видели, куб нельзя разрезать на неповторяющиеся меньшие кубики, «гиперкубирование» четырехмерного куба невозможно. Отсюда следует, что пятимерный куб также нельзя разбить на меньшие пятимерные кубы различных размеров.

Продолжая по индукции, мы приходим к заключению, что аналогичный вывод остается в силе для гиперкубов любой размерности, большей двух.

Примером совершенного квадрируемого прямоугольника бесконечного порядка может служить прямоугольник, изображенный на рис. 128.[55]

Глава 33. МЕХАНИЧЕСКИЕ ГОЛОВОЛОМКИ

В отличие от занимательных задач, обычно решаемых с помощью карандаша и листка бумаги, механические головоломки требуют кое-какого специального «оборудования», реквизита и ловких рук.

Этим «оборудованием» могут быть и самые обыкновенные кусочки картона, и замысловатые конструкции из дерева и металла, повторить которые по плечу далеко не каждому мастеру. Среди тех механических головоломок, которые иногда продаются в магазине игрушек, встречаются чрезвычайно интересные с математической точки зрения. По этой причине некоторые любители математических развлечений их коллекционируют. Самая большая из известных мне коллекций собрана Лестером А. Граймзом, инженером по технике противопожарной безопасности из Нью-Рошелла, штат Нью-Йорк.

(Несколько менее обширная коллекция, в которой, однако, более полно представлены старинные игрушки XIX века и китайские головоломки, принадлежит Томасу Рэнсому из Белвилла, пров. Онтарио, Канада.) Коллекция Граймза насчитывает около 2000 разнообразнейших головоломок; среди них встречаются и подлинные шедевры и редкости. О головоломках из этой коллекции и пойдет в основном речь в этой главе.

История головоломок еще не написана. Тем не менее вряд ли можно сомневаться в том, что древнейшей из них является старинная китайская игра танграм, известная в Китае под названием чи-чао-тю (что означает «хитроумный узор из семи частей»). В течение вот уже нескольких тысячелетий эта игра служит любимым развлечением в странах Востока, а с начала XIX века она получила распространение и на Западе. Рассказывают, что Наполеон, находясь в изгнании на острове Св. Елены, часами занимался составлением картинок из элементов танграма. Название «танграм» (неизвестное в Китае), по-видимому, было придумано в середине ХIХ века каким-то английским или американским «игрушечных дел» мастером, чье имя, к сожалению, до нас не дошло.

Фигуркам, которые можно составить из семи элементов танграма, посвящено множество альбомов и книг.[56] Среди них следует упомянуть и небольшую книжку знаменитого американского составителя головоломок Сэма Лойда, высоко ценимую знатоками.

Время от времени появлялись и другие головоломки, похожие на танграм (так, древние греки и римляне развлекались тем, что складывали фигурки из «обломков» разрезанного на 14 частей прямоугольника; изобретение этой игры приписывают Архимеду), но пережить танграм не суждено было ни одной из них. Чтобы понять причину удивительного долголетия этой старинной китайской игры, достаточно определенным образом разрезать квадрат из плотного картона и испытать свое искусство в складывании уже известных и придумывании новых фигурок. Схема разрезания квадрата показана на рис. 173.