Мартин Гарднер - Математические головоломки и развлечения

• Название: Математические головоломки и развлечения
• Автор: Мартин Гарднер
• Издательство: "Мир"
• Жанр: Развлечения
• Год: 1999
• ISBN: 5-03-003340-8

Книга известного американского популяризатора науки М. Гарднера содержит множество занимательных задач и головоломок из самых различных областей математики. Благодаря удачному подбору материла, необычной форме его подачи и тонкому юмору автора она не только доставит удовольствие любителям математики, желающим с пользой провести свой досуг, но и может быть полезной преподавателям математики школ и колледжей в их работе.

---

Перегните лист по двум диагоналям и переверните его на другую сторону (рис. 158, а) так, чтобы «долины» (сгибы, обращенные ребром вниз) стали «горными хребтами» (то есть сгибами, обращенными ребром вверх). На рис. 158 все «долины» показаны пунктиром, все «хребты» — сплошными линиями.

Рис. 158 Как сложить японскую птичку, машущую крыльями.

Перегните лист пополам, расправьте его и снова перегните пополам, но уже в перпендикулярном направлении, и снова расправьте.

В результате на листе должны появиться еще две «долины» (рис. 158, б).

Перегнем теперь лист так, чтобы две стороны квадрата, сходящиеся в одной вершине, встретились на диагонали (рис. 158, в), расправим лист и проделаем аналогичные операции в трех остальных вершинах квадрата. В результате наш лист покроется сетью сгибов (рис. 158, г). (Заметим, что последние из сделанных сгибов образуют в средней части квадрата правильный восьмиугольник.)

Следующий этап очень трудно описать словами, но, разобравшись в существе дела, легко выполнить. Обратим внимание на четыре коротких сгиба — «долины», указанные на рис. 158, г стрелками. В этих местах перегнем лист в противоположную сторону так, чтобы эти «долины» превратились в «горные хребты». Середины сторон квадрата (на рис. 158, г они обозначены буквами А, В, С и D) сдвинем внутрь. Результат показан на рис. 158, д. Углы квадрата (обозначенные буквами I, К, L и М) приподнимутся, и все сооружение примет вид, показанный на рис. 158, е.

Если все сгибы хорошо «отутюжены», а центр квадрата опущен до отказа вниз, то углы I, К, L и М нетрудно свести вместе (рис. 158, ж) и хорошенько разгладить заготовку, попарно сложив выступающие углы (рис. 158, з).

Отогнем выступ А (рис. 158, з) вдоль прямой В, после этого перевернем будущую фигурку на другую сторону и повторим аналогичную операцию со вторым выступом. Получившаяся фигура показана на рис. 158, и.

Перегнем клапан А (см. рис. 158, и) вдоль вертикальной оси В, перевернем нашу заготовку на другую сторону и повторим операцию. Результат показан на рис. 158, к.

Нижний угол А (рис. 158, к) отогнем вверх вдоль пунктирной прямой В, после чего перевернем все сооружение на другую сторону и отогнем вверх второй такой же клапан. Получившийся равнобедренный треугольник повернем так, чтобы его вершина была обращена вверх (рис. 158, л) Дальнейшие операции удобнее проделывать, держа модель на весу.

Потянув за верхушку (рис. 158, м), отогнем внутренний клапан М под некоторым углом влево и разгладим линию сгиба у основания М. Клапан N отогнем вправо. Конец клапана М вогнем внутрь и разгладим так, чтобы он стал похож на птичью голову (рис. 158, н).

Изогнем крылья (не делая новых сгибов) дугой. Если взять бумажную птичку за грудку и осторожно потянуть за хвост, она изящно взмахнет крыльями (рис. 158, о).

Птица — не единственная «действующая модель» живого существа в оригами: искусные мастера умеют складывать из бумаги разевающих рот рыбок, лягушек, которые прыгают, если их тронуть за спинку, и т. д. Переводчик Унамуно рассказывает, что великий испанский поэт любил делать «живых» зверушек и птиц, сидя за чашечкой кофе в одном из небольших ресторанов Саламанки. Нужно ли удивляться, что уличные мальчишки буквально приклеивались носами к витринам, с восхищением следя за волшебным зрелищем!

* * *

С каждым годом растет литература по оригами. Появляются в продаже комплекты, позволяющие самостоятельно складывать различные конструкции. Британская энциклопедия посвятила оригами специальную статью. Воспитатели детских садов и учителя начальных школ уже начали открывать для себя этот вид искусства, но большинство из них все еще относится к нему с сильным предубеждением. В сознании этой части учителей оригами ассоциируется с широко распространенным в начале века, но пустым увлечением — вырезанием и склеиванием необычайно сложных узоров из цветной бумаги. (В педагогическую практику его ввел основатель детских садов Ф. Фребель; в США «дурное влияние» этого повального увлечения сказалось на деятельности многих учителей.)

Испанский философ Ортега-и-Гассет в книге о своем друге Унамуно рассказывает, как однажды философ сложил из бумаги несколько фигурок для маленького мальчика, который спросил его, разговаривают ли между собой птички. Этот вопрос вдохновил Унамуно на создание одной из наиболее известных его поэм. У Унамуно есть юмористический очерк о складывании из бумаги и даже фундаментальная статья на эту тему.

Крупнейшим из современных художников оригами считается Акира Иошидзава из Токио. Им написано несколько книг о любимом искусстве и множество статей.

Ответы

Нашу задачу о сложенном листе бумаги лучше всего решать как задачу на отыскание экстремума из математического анализа. Если х — расстояние от угла А (который мы накладываем на левый край листа) до точки пересечения линии сгиба с нижним краем листа, то длина остальной части нижнего края равна 8 — х. Расстояние от левого нижнего угла листа до точки, в которую попадает при сгибании листа угол А, будет равно

а расстояние от угла А до точки пересечения линии сгиба с правым краем листа равно

Приравняв производную последней функции нулю, мы найдем значение х=6. Следовательно, угол А касается левого края в точке, отстоящей от основания на

а длина сгиба составляет

или немногим больше 10,392 см.

Интересная особенность этой задачи заключается в том, что минимальная длина сгиба, пересекающего нижний край листа, не зависит от ширины листа и получается при х, равном 3/4 ширины.

Три четверти ширины, умноженные на

дают длину сгиба. Если требуется минимизировать площадь той части листа, которая при сгибании оказывается сверху, то х всегда должен составлять 2/3 ширины.

Длина сгиба в более простом варианте задачи (когда ширина листка бумаги была сужена до 7,68 см а угол А помещен в точку левого края, находящуюся на расстоянии 5,76 см от основания листа) составляет ровно 10 см.

Глава 32. КВАДРИРОВАНИЕ КВАДРАТА

Можно ли разрезать квадрат на меньшие квадраты так, что среди последних никакие два не будут одинаковыми? Долгое время считали, что эта чрезвычайно трудная математическая задача неразрешима. Преодолеть все трудности удалось лишь после того, как задача была переведена на язык теории электрических цепей, а затем снова на язык геометрии плоских фигур. Ниже мы приводим увлекательный рассказ профессора математики университета в Торонто Уильяма Т. Татта о том, как ему и трем его товарищам по Кембриджскому университету удалось в конце концов дрировать квадрат.

Это рассказ о математическом исследовании, проведенном в 1936–1938 годах четырьмя студентами Тринити-колледжа Кембриджского университета. Одним из них был автор этой статьи.

Другим — К. А. Б. Смит, будущий специалист по статистическим проблемами генетики, автор многих статей по теории игр и задачи об отыскании фальшивой монеты среди заданного набора монет. Третьим участником был А. Г. Стоун, один из изобретателей флексатонов, позже получивший ряд важных результатов в исследовании теоретико-множественной топологии. Четвертым был Р. Л. Брукс, который впоследствии стал государственным чиновником, но на всю жизнь остался верен своему увлечению математическими головоломками. Свидетельство тому — важная теорема из теории раскраски графов, носящая его имя. С присущей молодости скромностью эти четверо студентов называли себя не иначе как «выдающимися математиками» Тринити-колледжа.

В 1936 году литература по задаче о разрезании прямоугольника на неповторяющиеся квадраты была крайне бедна. Так, было известно, что прямоугольник со сторонами 32 и 33 единицы можно разрезать на девять квадратов со сторонами 1, 4, 7, 8, 9, 10, 14, 15 и 18 единиц (рис. 159).

Стоуна заинтересовало высказанное в «Кентерберийских головоломках» Дьюдени предположение о том, что квадрат нельзя разрезать на неповторяющиеся квадраты. Из чистого любопытства он попытался найти доказательство этой гипотезы, но безуспешно, однако ему удалось найти разбиение прямоугольника со сторонами 176 и 177 единиц на 11 неповторяющихся квадратов (рис. 160).

Достигнутый успех, хотя он и не был полным, окрылил воображение Стоуна и трех его друзей, и вскоре все всерьез увлеклись задачей и стали уделять ей много времени. Была разработана специальная терминология. Прямоугольник, который можно разрезать на неповторяющиеся квадраты, назвали «совершенным» прямоугольником. Позднее для обозначения прямоугольника, который допускает разрезание на два или большее число квадратов, не обязательно разных, был предложен термин «квадрируемый» прямоугольник.