Яков Перельман - Живой учебник геометрии

• Название: Живой учебник геометрии
• Автор: Яков Перельман
• Жанр: Математика

Предлагаемое классическое пособие Я.И.Перельмана призвано пробудить у читателя интерес к геометрии или, говоря словами автора, «внушить охоту и воспитать вкус к ее изучению». Наука выводится «из стен школьной комнаты на вольный воздух, в лес, поле, к реке, на дорогу, чтобы под открытым небом отдаться непринужденным геометрическим занятиям без учебника и таблиц…»

---

0,5 ? [1 + 0,76] ? 0,25 = 0,22 кв. м.

При прежней скорости течения – 0,4 метра в секунду, – получаем, что через сечение ежесекундно проносится

0,22 ? 0,4=0,09 куб. м =90 литров.

Количество протекающей воды принято называть расходом воды. То, что мы здесь вычисляли, есть «расход» воды в канаве. Расход воды в речке вычисляется совершенно таким же образом.

Пусть живое сечение реки имеет форму, указанную на черт. 127: АВ – ширина реки, DD1 – глубина ее, измеренная в самом глубоком месте. СС1 и ЕЕ1 – глубины посредине между точкою Dи берегами. Соединим точки A, С1, D1, Е1 и В прямыми линиями. Наша задача сводится к тому, чтобы вычислить площадь фигуры AC1D1Е1В. Фигура эта состоит из двух треугольников и двух трапеций. Определив площадь каждой из этих фигур в отдельности, найдем площадь всего живого сечения, а умножив ее на скорость течения, получим расход воды.

Заметим еще, что приемом, указанным раньше, определяется, как было уже упомянуто, не средняя скорость течения, а н а и б о л ь ш а я, т. е. скорость ее самых быстрых струй. В реках средняя скорость меньше этой наибольшей примерно на 1/4.

§ 47. Нивелирование

Часто нужно бывает определить, насколько одна точка земной поверхности выше или ниже другой. Это выполняется различными приемами, носящими общее название н и в е л и р о в а н и я.

Если точки А и В (черт. 128), высоты которых сравниваются, расположены недалеко одна от другой, то нивелирование можно выполнить помощью длинной, негнущейся планки и плотничьего ватерпаса (черт. 129). Планку кладут горизонтально так, чтобы один конец ее упирался в точку А, а другой подпирают отвесно поставленным колом С. Затем переносят планку дальше и кладут ее горизонтально так, чтобы один конец приходился у основания кола С, а другой опирался на новый кол. Так поступают до тех пор, пока не достигнут точки В, в которую должен быть вбит последний кол. Измерив тогда высоту всех кольев, складывают их и таким образом узнают, на сколько точка А лежит выше В.

Способ этот очень хлопотлив и применим только для небольших расстояний. Нивелирование на большом расстоянии выполняют иначе, – именно при. помощи особого прибора, называемого нивелиром (черт. 130). Устройство прибора несложно: две отвесные трубки, сообщающиеся посредством соединительной трубки, установлены на треноге. В трубки налита вода; так как она в обоих сосудах стоит на одинаковом уровне, то прямая AD, проходящая через оба уровня, должна быть горизонтальна.

Разность высот точек А и В (черт. 131) определяют помощью нивелира так. Помещают нивелир в промежуточную точку С, а в точку А ставят отвесно рейку, разделенную на дециметры и сантиметры (черт. 132). Вдоль рейки ходит дощечка, которую подвигают до тех пор, пока ее средняя линия не будет видна наблюдателю у нивеллира на одной линии с обоими уровнями воды в сосудах. Заметив положение дощечки, переносят рейку в точку В, не изменяя положения нивеллира. Дощечку снова помещают на одной высоте с уровнями воды в сосудах. Разность высот дощечки покажет, насколько разнятся высоты точек А и В.

Если требуется определить высоту целого ряда точек местности (В, С, Dна черт. 133) над или под горизонтальной плоскостью, проходящей через А, то поступают следующим образом. Поместив нивелир между А и В, находят высоту А над В, как сейчас было объяснено. Затем, перенеся нивелир между В и С, находят высоту В над С. Сложив обе разницы в высотах, находим возвышение А над С. Подвигаясь таким образом дальше, мы доходим до точки Е, которая выше предыдущей точки D. Ясно, что тогда надо будет ее соответственно уменьшить разность высот А и Dчтобы узнать возвышение точки А над Е. Таким путем к концу работы определятся разности высот для всех точек нивелируемого «профиля» ABCDEF.

Короче говоря, надо сложить отдельно все показания при взглядах вперед и все показания при взглядах назад, и из первой суммы вычесть вторую. В результате получим возвышение конечной точки над начальной; отрицательный результат покажет, насколько конечная точка ниже начальной.

Разность высот конечных точек А и Fможно найти и не производя вычислений для каждой промежуточной точки. Обозначим положение дощечки на рейке в точке А через а; в точке В – через bпри взгляде вперед и через b1, при взгляде назад; в точке С – через с и с1, в точке D– через dи d1 и т. д. Чтобы найти разность высот А и Fмы произвели следующие действия:

[b– а] + [с – b1] + (d– с1) – (е – d1) – [е1 – f].

Раскрыв скобки, имеем

b– а + с – b1 + d– с1 – е – d1 – е1 – f

или

b+ с + d+ е + f– [а + b1 + с1 + d1 + е1].

Второй концентр

VIII. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ТРЕУГОЛЬНИКАХ

§ 48. Равнобедренный треугольник

С основными свойствами всякого треугольника мы познакомились в §§ 15–22. Самые главные из них следующие: сумма углов треугольника равна 180°; треугольники равны друг другу или по трем сторонам, или по двум сторонам и углу между ними, или по одной стороне и двум углам (для краткости мы обозначили эти случаи так: ССС, СУС, УСУ). Теперь познакомимся с некоторыми новыми свойствами треугольников.

Предварительные упражнения

Укажите равные треугольники в фигуре черт. 134, где АВ = АС, a AD– равноделящая угла А.

Каковы углы ADB и ADС на черт. 134: острые или тупые?

Мы знаем, что в р а в н ы х треугольниках против равных сторон лежат равные углы. Покажем, что и

в о д н о м и т о м ж е т р е у г о л ь н и к е п р о т и в р а в н ы х с т о р о н л е ж а т р а в н ы е у г л ы.

Пусть у нас взят треугольник ABC (черт. 135), в котором сторона АВ равна стороне АС. Легко убедиться, что в таком треугольнике углы В и С, лежащие против равных сторон, равны между собой. Если в нашем треугольнике проведем (черт. 136) равноделящую АD угла А, она разобьет ABCна два треугольника: АDB и АDС, которые равны между собой (СУС). По этому угол В, лежащий против AD, равен углу С, лежащему против той же общей стороны.

Треугольник с двумя равными сторонами называетс я р а в н о б е д р е н н ы м; его равнее стороны называются б о к о в ы м и с т о р о н а м и этого треугольника, а третья сторона – его о с н о в а н и е м.

Поэтому рассмотренное сейчас свойство треугольника можно высказать короче так:

в р а в н о б е д р е н н о м т р е у г о л ь н и к е у гл ы п р и о с н о в а н и и р а в н ы.

Можно удостовериться и в обратном соотношении: если в треугольнике имеются равные углы, то стороны, лежащие против этих углов, – равны; или-короче сказать:

в т р е у г о л ь н и к е п р о т и в р а в н ы х у г л о в л е ж а т р а в н ы е с т о р о н ы.

Чтобы убедиться в этом, возьмем треугольник (черт. 135), в котором два угла равны: уг. B = уг. C. Проведем (черт. 136) равноделящую AD; в образовавшихся двух треугольниках ADB и ADCсторона AD – общая, уг. BAD = уг. CAD, уг. В = уг. C; следовательно, треугольники равны (УСУ), и потому АВ = АС.

Применения

52. Огород имеет форму равнобедренного треугольника, одна сторона которого на 40 м длиннее другой. Обвод огорода 200 м. Какова длина каждой стороны? Сколько решений имеет эта задача?

Р е ш е н и е. Если оcнование этого треуголь ника больше боковых сторон, то, обозначив его через х, имеем уравнение