А. Степанов - Число и культура

• Название: Число и культура
• Автор: А. Степанов
• Жанр: Прочая научная литература

[ В 2002 г. на издание этой книги был получен грант Российского фонда фундаментальных исследований (РФФИ, проект 02-06-87085), и в 2004 она вышла в издательстве "Языки славянской культуры", Москва (в отредактированном виде, т.е. несколько отличном от варианта на сайте). ]

---

30 Композиция "Философской пропедевтики" также опирается на сквозную тройственность [91].

31 Например, Гуннер Бруберг из Лундского университета рассказывает в одном из докладов поучительную историю о том, что в ХVIII в. на Оби были как будто найдены ископаемые останки неизвестного огромного зверя с длинными клыками и когтями. Сообщение об этом вызвало активную полемику среди ученых-натуралистов, продолжавшуюся десять лет, делались доклады, составлялись трактаты, велась оживленная переписка. Многие считали, что зверь – нечто среднее между моржом и бегемотом, другие – что он тот самый Кит из Книги Иова. Эта история "послужила примером того, что от Сибири ожидали чего угодно, как будто бы там отменялись законы природы", – подводит итог Г.Бруберг [64, с. 31].

32 Разумеется, не всегда. Русский Ф.М.Достоевский, устами Свидригайлова, использует эзоповское выражение "уехал в Америку" по отношению к смерти, самоубийству.

33 По аналогичному поводу еще Геродот отмечал: богов грекам сотворили Гомер и Гесиод [169, с. 36].

34 Парный орган обычного зрения здесь, очевидно, интерпретирован в духе l = 2, и значит, должен существовать, хотя бы в потенции, еще один глаз – орган прямого усмотрения "последних" истин. (Один из рецензентов отреагировал на настоящую сноску критически: если l = 2, то почему тогда нет "третьей руки", "третьего уха"и – восходя к сарказму – "третьего яйца"? Не слишком ли увлекся автор условностью, тогда как представление о "третьем глазе" имеет твердое основание – в наличии соответствующей чакры? – К экспертам по чакрам я не принадлежу, зато абсолютно уверен, что если бы у творцов мифологем возникла потребность осмыслить совокупность рук в качестве целостной и законченной, то без "третьей руки" обойтись бы не удалось. Две руки необходимы для достижения высот искусности в ремесле, но, мол, существуют Мастера, сверхзатейливые произведения которых с помощью только двух рук создать невозможно. Они и пользовались "третьей рукой", понимаемой уже не столько физически, сколько духовно: как напряжение всей воли и сил, как призвание Провидения или непосредственное участие Бога. Аналогично, в итоге упорных упражнений на развитие слуха у наиболее продвинутых индивидов рождается фигуральное "третье ухо", позволяющее улавливать звуки роста травы, движений человеческой души, слышать музыку небесных сфер и – как предел – внимать дыханию и словам самого Господа Бога. "Третье яйцо" может потребоваться для немыслимых эротических подвигов, зачатия сверхчеловека, небожителя. Для нас в таких случаях важен логический каркас (холистичность и l = 2), т.е. технология, на основе которой продуцирование мифологем, подобных "третьему глазу", может быть поставлено на поток.)

35 У читателя есть возможность сравнить с тремя частями души по Платону: растительной, вожделеющей, разумной, – или со школьным делением живого мира на растения, животных и человека.

36 Один из рецензентов счел долгом заметить, что если бы схема моногамной семьи последовательно подчинялась разрабатываемой модели, то и детей должно было бы быть обязательно трое (ср. рис. 1-1, 1-4, 1-5), однако в действительности их может быть один, два, десять, ни одного. На наш взгляд, критика основана на недоразумении. Членение третьего элемента на три составляющих возникает исключительно там, где выполнены все необходимые условия из раздела 1.2, а именно условия целостности и логичности. В реальной жизни на совокупность детей эти требования не налагаются, поэтому их количество имеет право быть в самом деле любым. Ситуация в корне меняется, когда присутствует намерение представить ее как типологически значимую, и у сказочного царя с царицей тогда оказываются именно три дочери или сына.

37 Аристотель. О небе. 268 a, b. См. [25 ].

38 Собственно, как раз Аристотель наиболее полно и четко сформулировал ее законы, и до сих пор как синоним бинарной логики используется дефиниция "аристотелева".

39 Если требуется бoльшая историческая точность, методом координат – при изучении конических сечений – пользовался еще Аполлоний во II в. до н.э. [87, с. 271]. К исследованию различных линий на плоскости данный метод применен в 1630-х гг. Ферма (1601 – 1655) и Декартом (1596 – 1650). Лизье (1323 – 1382) в "Latitudines Formatum" впервые на Западе использует абциссу и ординату для описания функций. Систематическое развитие метода координат в пространстве дано Эйлером в 1748 г.

40 Ehrenfest P. Proc. Amsterdam acad., 1917, vol. 20; см. републикацию в [103].

41 Еще Аверроэс, придерживавшийся идеи совечности бытия Бога и бытия материи, ограничивал компетенцию Бога лишь сопредельными, ближними к Нему, сферами. Вселенная же развивается по своим, никому не подвластным законам, и миропорядок – имманентное структуро- и формообразующее дело самой материи, см. [264, с. 155-156].

42 Источником и объектом приложения всех сил являются материальные объекты, сила – не более, чем мерило их взаимодействия. Говоря о парности, вполне можно обойтись без понятия силы, но в подробности вряд ли стоит вдаваться.

43 См., например, Р.Фейнман: "Они вечно топчутся на обочинах науки, все время порываясь сообщить нам что-то, но они никогда не понимали всей глубины и сложности наших проблем".

44 Ср. с мнением Николая Кузанского: "Число есть не что иное как развернутый рассудок. Можно признать, что число является началом тех вещей, которых касается рассудок" [230:I, с. 190].

1.4. Кватерниорные структуры

1.4.1. Предварительный список примеров

Вернемся к теоретической модели, а именно к уравнению (5) раздела 1.2. Выпишем это уравнение заново:

M = M! / (M – n)! n!

( 5 )

По-прежнему рассматриваются целостные (полные, замкнутые, связные) и простые системы, т.е. системы класса S, состоящие из М элементов, но в величину кратности отношений n на сей раз внесем изменения. Пусть теперь имеются в виду не прежние бинарные ( n = 2 ), а тринитарные отношения: n = 3. Как это достигается на практике, позднее увидим на конкретных примерах, пока же займемся чисто формальным аспектом. Каким станет количество элементов М, если кратность отношений n = 3? Подставим последнее значение в уравнение (5):

M = M! / (M – 3)! 3!

Раскрыв значения факториалов в правой части, получим:

М = 1·2· 3·…·(М – 3)(М – 2)(М – 1)М / 1·2· 3·…·(М – 3)·1· 2· 3

После сокращения одинаковых сомножителей в числителе и знаменателе:

М = М(М – 1)(М – 2) / 6

( 6 )

В правой и левой частях уравнения стоят одинаковые сомножители М. Если количество элементов М было бы бесконечно большим, правая и левая части уравнения тоже были бы бесконечно большими, т.е. равенство соблюдалось бы. Но о таком странном случае М = ∞ (M равно бесконечности); и о том, есть ли у него вообще какой-нибудь смысл, мы поговорим в разделе 1.5. Пока же будем искать решения среди конечного числа составных элементов, тем более, что алгебра, как и логика, не любят иметь дело с актуальными бесконечностями.

Если бы в системе совсем не было элементов, т.е. М = 0, то правая и левая части уравнения также обратились бы в нуль, и следовательно, их равенство было бы обеспечено. Значит, М = 0 входит в состав конечных решений. Но это опять-таки странный случай: какую систему мы изучаем, если элементы отсутствуют? Поэтому и нулевой вариант будет рассмотрен значительно позже.

Физики, наделенные острым чувством реальности и мыслящие не только строго, но и трезво, встречая среди решений какого-нибудь своего уравнения бесконечности и нули, обычно их тут же отбрасывают. О таких случаях говорят: не имеет физического смысла, – или именуют нулевое решение тривиальным, не несущим полезной информации. Сплошь да рядом так поступают и математики.

Пока у нас нет серьезных оснований отличаться от физиков и математиков, поэтому системы с бесконечным и нулевым количеством элементов и отодвинуты в сторону. Из осторожности все же воздержимся называть такие системы не имеющими реального смысла или тривиальными: быть может, в обществе и культуре найдутся соответствующие прототипы. Но в любом случае оставим их на потом и поищем другие, менее экзотические, решения.

Если величина М конечна и отлична от нуля, у нас есть право ее сократить, поскольку она стоит как сомножитель в обеих частях уравнения:

(М – 1)(М – 2) = 6.

Это квадратное алгебраическое уравнение, и чтобы найти корни, нужно раскрыть скобки и привести все к стандартному школьному виду:

М2 – 3М – 4 = 0.

Уравнению удовлетворяют два значения:

М = 4

М = – 1

( 7 )

( 8 )

Второй корень ( М = – 1 ) выглядит настораживающе и, вроде, противоречит здравому смыслу: может ли реальная система состоять из минус одного элемента? Пока оставим его в покое. Решение же М = 4 смотрится вполне респектабельно, за него стоит ухватиться покрепче. Но прежде еще одно математическое замечание.

Уравнение (5) может быть решено в общем виде, пригодном для любых величин n (нас интересуют прежде всего целые неотрицательные). Подробности вынесены в Приложение 1.2, здесь же приведем окончательный результат. Осуществляя поиск среди действительных и конечных значений М, приходится различать две главных разновидности систем S: с четной и нечетной кратностью отношений n.