Рэймонд Смаллиан - Принцесса или тигр

• Название: Принцесса или тигр
• Автор: Рэймонд Смаллиан
• Жанр: Математика

Задачи по логике

---

М(Х). Итак, наша задача сводится к нахождению такого числа У, которое порождает МУ. Но эта задача уже была решена в предыдущей главе (с помощью закона Мак-Каллоха): надо просто взять в качестве У число 32МЗ. Итак, за X мы принимаем число М32МЗ, причем это X будет порождать М(Х). Проверим полученный результат: в самом деле, пусть Х=М32МЗ. Но поскольку число 2МЗ порождает число МЗ, то число 32МЗ порождает число М32МЗ (согласно правилу 2), и, следовательно, число М32МЗ будет порождать М(М32МЗ). Таким образом, действительно X порождает М(Х), где X—число М32МЗ.

Рассмотрим теперь некоторые приложения. Для того чтобы найти некое число X, порождающее повторение X, примем 5 в качестве М; тогда сразу получаем решение (а точнее, одно из решений) — число 53253. Для того чтобы найти число X, порождающее обращение самого себя, положим М = 4; тогда X есть число 43243. Для того чтобы найти число X, которое порождало бы ассоциат обращения X, выберем в качестве М число 34; отсюда возможное решение — число 3432343.

Для решения первой задачи Мак-Каллоха (найти число X, которое порождает повторение обращения ассоциата X) выберем в качестве М число 543 (5 — для получения повторения, 4 — для получения обращения и 3 — для получения ассоциата); решением в данном случае является число 543325433. (Читатель может легко удостовериться непосредственно, что число 543325433 действительно порождает повторение обращения ассоциата числа 543325433.)

Для решения второй задачи Мак-Каллоха (найти число X, которое порождает ассоциат повторения обращения X) возьмем в качестве М число 354; в результате получим решение — число 354323543.

Да, действительно, принцип Крейга великолепно работает в этих ситуациях!

21, 22, 23, 24. Задачи 21, 22 и 23 являются частными случаями задачи 24, поэтому мы начнем прямо с последней из них.

Пусть нам дано операционное число М и произвольное число А, причем мы хотим найти некое число X, которое порождает М(АХ). Вся штука теперь состоит в гом, чтобы найти такое число У, которое не порождает MY, однако порождает AMY. Возьмем в качестве У число 32АМЗ. Поскольку У порождает AMY, тогда MY в соответствии с утверждением 1 должно порождать M(AMY). Значит, если принять за X величину MY, то X будет порождать М(АХ). Но поскольку мы выбрали в качестве У число 32АМЗ, то число X в (данном случае будет равно М32АМЗ. Итак, искомое решение — число вида М32АМЗ.

Попробуем применить этот результат к решению задачи 21. Прежде всего отметим, что число 7X7X— это просто повторение 7X, так что мы ищем некое число X, которое порождает повторение IX—или повторение АХ, если считать А равным 7. Итак, А — это 7, а за М, очевидно, можно принять число 5 (поскольку 5 представляет собой операцию повторения); поэтому решением будет число 532753. (Читатель легко может убедиться сам, что число 532753 действительно порождает повторение числа 7532753.) Для задачи 22 в качестве А возьмем 9, а в качестве М примем 4, тогда решение — число 432943. Для задачи 23 в качестве А выберем 89, а в качестве М — число 3; решением будет 3328933.

25. Да, для любого числа А существует некое число X, которое порождает Х Г, а именно 432/443. (В данной конкретной задаче, для которой А = 67, имеем Г = 76, так что решением будет число 4327643.)

26. При рассмотрении наиболее общего случая самое главное — понять, что ХГ — это обращение ~АХ, и по этому М(ХА) = М4(АХ). Согласно второму принципу Крейга, числом X, порождающим М4(А~Х), является число М432ГМ43 — оно и будет решением дайной задачи. В частном случае, если вместо М взять 5, а вместо А — 67, числом X, порождающим повторение ~Х67, будет число 543276543 (в чем читатель может легко убедиться сам).

Законы Фергюссона

А сейчас мы перейдем к рассказу о еще более интересных событиях, связанных с машинами Мак-Каллоха. Недели две спустя Мак-Каллох получил от Крейга письмо следующего содержания:

Мой дорогой Мак-Каллох!

Я и мой друг Малькольм Фергюссон крайне заинтересовались твоими цифровыми машинами. Кстати, ты случайно не знаком с Фергюссоном? Последнее время он ведет активные исследования в области чистой логики и даже собственноручно построил несколько логических машин. Однако его интересы не ограничиваются этим; так, он весьма интересуется шахматными задачами, относящимися к области так называемого ретроградного анализа. Кроме того, он занимается и чисто комбинаторными задачами, с которыми так успешно справляются твои машины. На прошлой неделе я заглянул к нему в гости и показал все твои задачи — они его очень заинтересовали. Когда через три дня я вновь встретил Фергюссона, он невзначай заметил в разговоре что, по его мнению, обе твои машины обладают некоторыми новыми любопытными свойствами, о которых ты сам как изобретатель, по-видимому, даже не подозреваешь. Выражался он несколько туманно и сказал, что хочет еще поразмыслить обо всем этом.

В следующую пятницу я пригласил Фергюссона пообедать со мной. Не хочешь ли присоединиться к нам? Уверен, что у вас обоих найдется много общих тем для разговора; быть может, мы узнаем, что у него на уме.

В надежде на скорую встречу искренне твой

Л. Крей

Ответ Мак-Каллоха не заставил себя долго ждать:

Дорогой Крейг!

С Малькольмом Фергюссоном я не знаком, но многое слышал о нем от наших общих знакомых. Не учился ли он у известного логика Готлоба Фреге? Насколько мне известно, он занимается некоторыми проблемами, весьма важными для оснований математики, и, конечно, я с удовольствием воспользуюсь возможностью познакомиться с ним лично. Само собой разумеется, мне будет также крайне любопытно узнать его мнение по поводу построенных мною машин. Весьма благодарен тебе за приглашение и с радостью его принимаю.

С глубоким уважением

Н. Мак-Каллох

Гости съехались. После превосходного обеда (его приготовила квартирная хозяйка Крейга миссис Хоффман) разговор зашел о математике.

— Я слышал, вы построили несколько логических машин, — сказал Мак-Каллох. — Интересно было узнать о них поподробнее. Может быть, вы расскажете, как они работают?

— О, это долгий разговор, — отвечал Фергюссон. — К тому же я до сих пор не нашел ответа на один очень важный вопрос, связанный с их работой. Может, вы с Крейгом зайдете как-нибудь ко мне в лабораторию? Тогда я вам обо всем и расскажу. А сегодня я предпочел бы поговорить о ваших машинах. Несколько дней назад я рассказывал Крейгу, что у них обнаружились некоторые свойства, о которых, мне кажется, вы и не подозреваете.

— Что же это за свойства? — спросил Мак-Каллох.

1. — Ну что ж, — сказал Фергюссон, — давайте начнем с конкретного вопроса, относящегося к вашей второй машине. Пусть имеются некие числа X и У, такие, что число X порождает обращение числа У, а У порождает повторение числа X. Можете ли вы найти эти числа?

Крейга и Мак-Каллоха эта задача чрезвычайно заинтересовала, и они тут же засели за ее решение. Однако ни тому, ни другому это не удалось. Решить эту задачу, конечно, можно, и, вероятно, наш честолюбивый читатель не прочь попробовать сделать это сам. Заметим только, что в основе решения лежит один важный принцип (о котором пойдет речь в этой главе); если знать его, то решение задачи оказывается на удивление простым.

2. — Вы меня просто заинтриговали, — заявил Крейг, когда Фергюссон показал им решение. — Я вижу, что ваше решение правильно, но как вам удалось его найти? Вы просто случайно наткнулись на эти числа X и У или действовали по заранее намеченному плану? Мне, например, это кажется прямо каким-то фокусом.

— Вот именно, — вставил Мак-Каллох. — Так, знаете, фокусник в цирке вытаскивает кролика из шляпы!

— Ага, — засмеялся Фергюссон, явно наслаждаясь произведенным эффектом. — Только не одного, а двух кроликов, и при том они еще некоторым образом влияют друг на друга. Это точно, — сказал Крейг. — Но все же мне бы хотелось знать, как вы догадались, каких именно кроликов надо тащить?

— Прекрасный, ну просто замечательный вопрос! — сияя, воскликнул Фергюссон. — А ну-ка — вот вам еще задачка: найти такие числа X и У, чтобы число X порождало повторение числа У, а число У порождало обращение ассоциата X.

— С меня хватит! — воскликнул Мак-Каллох.

— Минуточку, минуточку, — перебил их Крейг. — Я, кажется, что-то начинаю понимать. Не хотите ли вы сказать, Фергюссон, что для любых двух операций, которые может выполнять машина, то есть для любых двух заданных операционных чисел М и N, должны существовать некие числа X и У, характеризующиеся тем, что X порождает M(Y), а У порождает N(X)?

— Вот именно! — воскликнул Фергюссон. — И поэтому мы можем найти, например, такие числа X и У, для которых X порождает двойной ассоциат У, а У порождает повторение обращения X или любые другие комбинации, какие вы захотите.

— Вот так штука! — изумился Мак-Каллох. — Ведь все это время я пытался придумать машину как раз с таким свойством, а она у меня, оказывается, уже есть!